Integrační článek

Dvě možná zapojení pasivního integračního článku

Integrační článek (integrátor) je elektronický obvod, který v obvodu provádí matematickou operaci integrování – napětí na výstupu je integrálem napětí na vstupu podle času. Ideální integrační článek tak realizuje funkci:

$u_2(t)=K_{\mathrm{i}}\underset{0}{\overset{t}{\int }}{u}_1(\tau )d\tau$,

kde $K_{\mathrm{i}}$ je konstanta integrátoru.

Funkce

Odezva integračního článku na obdélníkové pulzy

Integrační článek má frekvenční charakteristiku dolnopropustného filtru – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí klesá. U ideálního integrátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence desetinásobný pokles amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je −20 dB/dek.

Přenos integračního článku je $F(j\omega )=\frac{U_2}{U_1}=\frac{1}{1+j\omega K_{\mathrm{i}}}$.

Integrační konstanta pasivního integračního článku s rezistorem a kondenzátorem je K_i  = RC, s rezistorem a cívkou K_i  = L/R.

Na integrátoru dochází k fázovému posunutí mezi vstupním a výstupním signálem, které je opět závislé na frekvenci signálu: s rostoucí frekvencí se posuv zvyšuje, asymptoticky dosahuje pro vysoké frekvence -90°.

Frekvence, při které dochází k poklesu napětí −3 dB (A_U = 0,707), se označuje jako frekvence zlomu (zlomová frekvence). Fázový posuv je při něm roven -45°.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a kondenzátorem je:

$|F(j\omega ){|}_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log 1-20\log \sqrt{1+{\omega }^2{R}^2{C}^2}$

První člen LAFCH je roven nule, u druhého členu lze diskutovat tři případy:

1. Je-li $\omega RC<<1$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomového úhlové frekvence ${\omega }_0$ roven nule.
2. Je-li $\omega RC=1$, je $\omega ={\omega }_0=1/RC=1/K_i$ kde ${\omega }_0$ je úhlová frekvence zlomu.
3. Je-li $\omega RC>>1$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci ${\omega }_0$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) integračního článku s rezistorem a cívkou je:

$|F(j\omega ){|}_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log 1-20\log \sqrt{1+{\omega }^2\frac{L^2}{R^2}}$

První člen LAFCH je roven nule, u druhého členu lze diskutovat tři případy:

1. Je-li $\omega L/R<<1$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence ${\omega }_0$ roven nule.
2. Je-li $\omega L/R=1$, je $\omega ={\omega }_0=R/L=1/K_i$ kde ${\omega }_0$ je úhlová frekvence zlomu.
3. Je-li $\omega L/R>>1$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve úhlové zlomové frekvenci ${\omega }_0$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika integračního článku (pasivní dolní propusti 1. řádu)

LAFCH je pouze aproximací skutečné charakteristiky, největší chyba nastává v bodě ${\omega }_0$ (3 dB), to je také kmitočet, při kterém se impedance frekvenčně závislé součástky (C nebo L) vyrovná odporu použitého R.

Fázová frekvenční charakteristika

Charakteristiky integračního článku

Fázová frekvenční charakteristika integračního článku je $\phi (\omega )=\text{arctg}\frac{\text{Im}\{F(j\omega )\}}{\text{Re}\{F(j\omega )\}}=-\text{arctg}(\omega K_i)$.

Speciálně pro RC článek $\phi (\omega )=-arctg(\omega RC)$ a pro RL článek $\phi (\omega )=-arctg(\frac{\omega L}{R})$.

Z grafu funkce arkus tangens vyplývá že fázová charakteristika bude vycházet přibližně z počátku souřadných os (osa x je logaritmická, čili začíná jedničkou a proto přesně vzato nemůže fázová charakteristika vycházet z počátku), při úhlové frekvenci $\omega ={\omega }_0=1/K_i$ je argument funkce 1 a fázový posuv tedy $-\pi /4$. S dalším nárůstem frekvence se bude fázová charakteristika blížit $-\pi /2$.

Obecně lze říci že každému zlomu logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky o -20 dB/dek (resp + 20 dB/dek) odpovídá posun fáze o -90° (resp +90°), je-li monotónní (konstantně roste nebo klesá) je fázová frekvenční charakteristika konstantní.

Obrázek naznačuje charakteristiky integračního článku (pasivní dolní propusti) s $K_i=0,01$. Červeně je naznačená logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika, modře její skutečný průběh a zeleně fázová charakteristika.

Konstrukce

Integrační článek obsahuje nejméně jednu frekvenčně závislou součástku (kondenzátor, cívka). Nejjednodušším zapojením je pasivní zapojení využívající jeden kondenzátor či cívku. Aktivní elektronický integrátor obsahuje operační zesilovač s kondenzátorem ve zpětnovazební smyčce. Integrátor lze také koncipovat jako digitální součástku, např. složením převodníku napětí–frekvence s čítačem impulsů.

Reference

• Kotlan Jiří: Syntéza elektrických obvodů I. Západočeská univerzita, Plzeň 1995. Šablona:ISBN
• Pinker Jiří, Koucký Václav: Analogové elektronické systémy 2. Západočeská univerzita, Plzeň 2004. Šablona:ISBN

Související články

• Derivační článek