Hypergeometrické rozdělení

Hypergeometrické rozdělení je jedním z rozdělení pravděpodobnosti diskrétní náhodné veličiny. Popisuje pravděpodobnost $p(x)$, že při výběru $n$ prvků z množiny o velikosti $N$, v níž má $A$ prvků požadovanou vlastnost, bude mít právě $x$ prvků tuto vlastnost.

Definice

Náhodná veličina $X$ má hypergeometrické rozdělení s parametry $N$, $A$ a $n$, jestliže její pravděpodobnostní funkce je dána:

$\mathrm{P}(X=x)=\{\begin{array}{cc}\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{A}{x})(\genfrac{}{}{0ex}{}{N-A}{n-x})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{N}{n})}& \text{pro }x\in ⟨\text{max}(0,A-N+n),...,\text{min}(A,n)⟩\\ 0& \text{jinak.}\end{array}$

Pro přirozená čísla $N$, $A$ a $n$ platí $1\le n\le N$ a $1\le A\le N$. Parametr $N$ označuje celý soubor jednotek, z nichž $A$ jednotek má sledovanou vlastnost. Z tohoto souboru vybíráme $n$ jednotek bez vracení. Náhodná veličina $X$ označující počet vybraných jednotek vykazujících sledovanou vlastnost se řídí hypergeometrickým rozdělením.

Charakteristiky

Pro výpočet střední hodnoty platí:

$\mathrm{E}(X)=\frac{n\cdot A}{N}$,

pro výpočet rozptylu platí:

$\mathrm{var}(X)=n\frac{A}{N}(1-\frac{A}{N})\left(\frac{N-n}{N-1}\right)$,

pro výpočet koeficientu šikmosti platí:

${\alpha }_3=\frac{(N-2A)(N-1{)}^{\frac{1}{2}}(N-2n)}{[nA(N-A)(N-n){]}^{\frac{1}{2}}(N-2)}$

a pro výpočet koeficientu špičatosti platí:

${\alpha }_4=\frac{1}{nA(N-A)(N-n)(N-2)(N-3)}\cdot [(N-1)N^2(N(N+1)-6A(N-A)-6n(N-n))+6nA(N-A)(N-n)(5N-6)]$.

Příklad

Spočítejme pravděpodobnost s jakou bude student u zkoušky umět právě jednu ze tří náhodně vybraných otázek, pokud se naučil pouze pět otázek z dvaceti.
Celý soubor obsahuje 20 jednotek, z toho sledovanou vlastnost má 5 jednotek. Ze souboru vybíráme 3 jednotky bez vracení. Hledáme pravděpodobnost, s jakou je náhodná veličina $X$ rovna 1. Tedy:

$\mathrm{P}(X=1)=\frac{(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{20-5}{3-1})}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{3})}=\frac{5\cdot 105}{1140}=0,46$

Související články

• Rozdělení pravděpodobnosti
• Binomické rozdělení

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat

Literatura

• JARUŠKOVÁ, Daniela. Pravděpodobnost a matematická statistika. Vyd. 2. Praha: Česká technika - nakladatelství ČVUT, 2006, 138 s. Šablona:ISBN.