Hurwitzův kvaternion

Hurwitzův kvaternion je v matematice označení pro takový kvaternion, který má buď všechny koeficienty celočíselné nebo má všechny koeficienty tvořené polocelými čísly (část koeficientů celých a část polocelých je tedy nepřípustná). Formální vyjádření množiny všech Hurwitzových kvaternionů je tedy:

$H=\{x_0+x_1\mathrm{i}+x_2\mathrm{j}+x_3\mathrm{k}\in ℍ\mid (x_0,x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{Z}}^4\cup (\frac{1}{2}+\mathbb{Z}{)}^4\}$

Tato množina je uzavřená na sčítání i násobení a tvoří tedy podokruh okruhu všech kvaternionů. Hurwitzovy kvaterniony zavedl v roce 1919 německý matematik Adolf Hurwitz.

Příbuzným pojmem je Lipschitzův kvaternion, což je kvaternion se všemi koeficienty celočíselnými. Formální vyjádření množiny Lipschitzových kvaternionů je tedy:

$L=\{x_0+x_1\mathrm{i}+x_2\mathrm{j}+x_3\mathrm{k}\in ℍ\mid (x_0,x_1,x_2,x_3)\in {\mathbb{Z}}^4\}$

I Lipschitzovy kvaterniony jsou uzavřené na sčítání a násobení, tvoří tedy okruh, který je podokruhem Hurwitzových kvaternionů. Lipschitzovy kvaterniony se nazývají podle německého matematika Rudolfa Lipschitze.

Výhodou Hurwitzových kvaternionů oproti Lipschitzovým je, že tvoří eukleidovský obor a tedy i obor s jednoznačným rozkladem.