Heronův vzorec

Heronův vzorec je vzorec pro výpočet obsahu obecného trojúhelníku (v eukleidovské rovině) pomocí délek jeho stran.

Pokud 3 kladná čísla splňují trojúhelníkovou nerovnost, existuje v eukleidovské rovině (podle věty sss) až na polohu a orientaci jediný trojúhelník s těmito délkami stran. Takže je jednoznačně určen i jeho obsah a je tedy funkcí stran. Ta musí být obecně symetrická a kvadraticky homogenní a H. v. ukazuje, jak přesně vypadá.

Vzorec

Jsou-li $a,b,c$ délky stran trojúhelníka, platí pro jeho obsah

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},$

kde $s=\frac{a+b+c}{2}$ je poloviční obvod trojúhelníku.

Důkaz

Heronův vzorec lze odvodit již na základní škole, spočívá na Pythagorově větě.

Označme x vzdálenost vrcholu B od paty kolmice z vrcholu A na stranu a (výšky). Pro pravoúhlý trojúhelník na obrázku platí:

$x^2+v^2=c^2$

$(a-x{)}^2+v^2=b^2$

Odečteme-li od druhé rovnice první, dostaneme:

$a^2-2ax=b^2-c^2$

Z tohoto vztahu vyjádříme x:

$x=\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}$

Toto platí i v pravoúhlém trojúhelníku, v tupoúhlém s opačným znaménkem. Jestliže za x dosadíme do první rovnice, získáme výšku v:

$v^2=c^2-x^2$

$v^2=c^2-{\left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2a}\right)}^2$

$v^2=c^2-\frac{{(a^2+c^2-b^2)}^2}{4a^2}$

$v^2=\frac{4c^2{a}^2-{(a^2+c^2-b^2)}^2}{4a^2}$

$v=\frac{\sqrt{4c^2{a}^2-{(a^2+c^2-b^2)}^2}}{2a}$

Dosadíme-li tuto výšku do vzorce pro obsah trojúhelníku

$S=\frac{av}{2},$

dostaneme

$S=\frac{\sqrt{4c^2{a}^2-{(a^2+c^2-b^2)}^2}}{4}$

Dále pomocí rozkladů upravíme výraz pod odmocninou:

$S=\frac{\sqrt{(2ac+a^2+c^2-b^2)(2ac-a^2-c^2+b^2)}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{[{(a+c)}^2-b^2][b^2-{(a-c)}^2]}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{(a+c+b)(a+c-b)(b+a-c)(b-a+c)}}{4}$

Dosadíme poloviční obvod s,

$a+b+c=2s$

a dostáváme výsledný vzorec:

$S=\frac{\sqrt{2s(2s-2a)(2s-2b)(2s-2c)}}{4}$

$S=\frac{\sqrt{16s(s-a)(s-b)(s-c)}}{4}$

$S=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Historie

Vzorec byl formulován Hérónem z Alexandrie a důkaz byl publikován v jeho knize Métrika, napsané v první polovině 1. století.

Poznámky

Kratší důkaz je možný pomocí kosinové věty.

Díky trojúhelníkové nerovnosti jsou všechny činitele odmocněnce H. v. kladné.

Jedná se asi o nejsložitější matematický vzorec základní školy.

Heronův vzorec je limitním případem Brahmaguptova vzorce pro obsah tětivového čtyřúhelníku.

Související články

• Trojúhelník
• Obsah
• Tětivový čtyřúhelník

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• důkaz Heronova vzorce