Galileiho transformace

Nákres vzájemné polohy vztažných soustav S a S'.

Galileiho transformace jsou transformační rovnice umožňující pomocí souřadnic x, y, z, t nějaké události U v inerciální vztažné soustavě S vyjádřit souřadnice x' , y' , z' , t' téže události v jiné inerciální vztažné soustavě S' , která se vzhledem k původní soustavě S pohybuje konstantní rychlostí v.

Matematické vyjádření

Pro pohyb ve směru rovnoběžném s osou x platí:

$\begin{array}{cc}{t}^{\prime }& =t\\ x^{\prime }& =x-vt\\ y^{\prime }& =y\\ z^{\prime }& =z\end{array}$

Pro čas platí $t=0$ ve chvíli, kdy počátky inerciálních vztažných soustav splývají. Tato transformace tedy považuje čas za neměnný a mění pouze prostorové souřadnice.

Inverzní transformace

K vyjádření události v soustavě S' prostřednictvím souřadného systému soustavy S můžeme použít tzv. inverzní Galileiho transformaci.

$\begin{array}{cc}t& =t^{\prime }\\ x& =x^{\prime }+vt\\ y& =y^{\prime }\\ z& =z^{\prime }\end{array}$

Transformace rychlosti

Předpokládejme, že v soustavě S se pohybuje hmotný bod rychlostí $𝐯$, jejíž složky jsou $v_x=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$, $v_y=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}$ a $v_z=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}$. Složky rychlosti $𝐯$ soustavě S' získáme derivací vztahů pro Galileiho transformaci, tzn.

$v_x^{\prime }=\frac{\mathrm{d}{x}^{\prime }}{\mathrm{d}t}=v_x-v$

$v_y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}{y}^{\prime }}{\mathrm{d}t}=v_y$

$v_z^{\prime }=\frac{\mathrm{d}{z}^{\prime }}{\mathrm{d}t}=v_z$

To odpovídá vztahu pro skládání rychlostí z klasické mechaniky.

Vlastnosti

Galileiho transformace sice odpovídá našim zkušenostem, narušuje však postuláty (speciální) teorie relativity. Ukazuje se např., že vztahy popisující elektrické a magnetické jevy mají při použití Galileiho transformace v obou soustavách zcela rozdílné tvary, což odporuje prvnímu postulátu. I druhý postulát je porušen, neboť dostaneme-li při měření rychlosti světla podél osy x v soustavě S hodnotu $c$, bude podle výrazu pro transformaci rychlosti v soustavě S' rychlost světla $c^{\prime }=c-v\ne c$.

Galileiho transformace je přijatelná pouze pro malé rychlosti ve srovnání s rychlostí světla, tzn. $v\ll c$. Pro velké rychlosti je však nutno použít Lorentzovu transformaci. Platnost Galileiho transformace se tedy omezuje na klasickou mechaniku, zatímco v teorii relativity se používá Lorentzova transformace.

Galileiho transformace však svůj význam neztratila, neboť člověk se ve svém okolí běžně setkává spíše s rychlostmi malými, a pro běžnou potřebu (např. technické praxe) je Galileiho transformace postačující.

Související články

• Relativita pohybu
• Klasická mechanika
• Teorie relativity

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat

Literatura

• Galileo 1638 Discorsi e Dimostrazioni Matematiche, intorno á due nuoue scienze 191 - 196, vydavatel Lowys Elzevir (Louis Elsevier), Leiden