Dirichletova beta funkce

Graf Dirichletovy beta funkce

Dirichletova beta funkce je speciální funkcí, úzce související s Riemannovou zeta funkcí.

Definice

Dirichletova beta funkce je definována (za předpokladu Re(s) > 0) jako:

$\beta (s)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1{)}^s},$

nebo ekvivalentně

$\beta (s)=\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(s)}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^{s-1}{e}^{-x}}{1+e^{-2x}}dx.$

Funkci lze analyticky rozšířit na celou komplexní rovinu:

$\beta (s)={\left(\frac{\pi }{2}\right)}^{s-1}\mathrm{\Gamma }(1-s)\cos \frac{\pi s}{2}\beta (1-s),$

kde Γ(s) je gama funkce.

Vybrané speciální hodnoty

$\beta (0)=\frac{1}{2},$

$\beta (1)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}(1)=\frac{\pi }{4},$

$\beta (2)=0,915965594177219015\dots$ má speciální název Catalanova konstanta,

$\beta (3)=\frac{{\pi }^3}{32},$

$\beta (5)=\frac{5{\pi }^5}{1536},$

$\beta (7)=\frac{61{\pi }^7}{184320}.$

Externí odkazy

• Šablona:En Dirichletova beta funkce na serveru MathWorld