Centrovaný systém

Centrovaný systém je matematický pojem z oboru teorie množin, týkající se konkrétně studia systémů podmnožin nějaké dané množiny.

Definice

Předpokládejme, že $S$ je množina podmnožin množiny $X$ (někdy se také říká, že $S$ je systém množin na $X$), tj. $S\subseteq \mathbb{P}(X)$, kde $\mathbb{P}(X)$ je potenční množina množiny $X$. O množině $S$ řekneme, že se jedná o centrovaný systém, pokud je průnik každé její konečné podmnožiny neprázdný:
$(\mathrm{\forall }{y}_1,y_2,\dots ,y_n\in S)(y_1\cap y_2\cap \dots \cap y_n\ne \mathrm{\varnothing })$

Vlastnosti a příklady

Triviální centrovaný systém

Pokud má celý systém $S$ neprázdný průnik, pak je centrovaný - pro jeho libovolnou neprázdnou podmnožinu $Y\subseteq S$ (nejen konečnou) platí
$\mathrm{\varnothing }\ne \bigcap S\subseteq \bigcap Y⟹\mathrm{\varnothing }\ne \bigcap Y$

Netriviální centrovaný systém

Otázka zní, zda existují i nějaké netriviální centrované systémy - tj. takové, že $\bigcap S=\mathrm{\varnothing }$, ale přitom je systém (vzhledem ke konečným podmnožinám) centrovaný.

Uvažujme o nekonečném systému množin přirozených čísel
$S=\{u_1,u_2,u_3,u_4,\dots \}$, kde $u_i$ je množina všech nenulových násobků čísla $i$, tj.

• $u_1=\{1,2,3,\dots \}$
• $u_2=\{2,4,6,\dots \}$
• $u_3=\{3,6,9,\dots \}$
• $u_4=\{4,8,12,\dots \}$
• $\dots$

Jedná se o centrovaný systém - vezmeme-li jakoukoliv jeho konečnou podmnožinu a určíme číslo $k$ jako nejmenší společný násobek indexů prvků této konečné podmnožiny $S$ (například pro $\{s_3,s_5,s_6,s_8\}$ je $k=120$), pak $u_k$ je (neprázdným) průnikem této podmnožiny.
Navíc se jedná o netriviální centrovaný systém - pokud by byl průnik celého systému $\bigcap S$ neprázdný, pak by muselo existovat nějaké přirozené číslo $n\in \bigcap S$ a tím pádem by muselo mimo jiné být $n\in u_{n+1}$, což je nesmysl.

Vztah centrovaných systémů a filtrů

Jedním z příkladů pro centrovaný systém jsou filtry. Filtr má nejen neprázdný průnik každé konečné podmnožiny - z podmínky, že filtr musí být dolů usměrněná množina dokonce plyne, že filtr musí sám v sobě obsahovat všechny průniky svých konečných podmnožin.

To pro centrovaný systém platit nemusí - například systém $\{\{0,1,2\},\{1,2,3\}\}$ je centrovaný, ale rozhodně to není dolů usměrněná množina (neobsahuje totiž množinu $\{1,2\}=\{0,1,2\}\cap \{1,2,3\}$ . Stejně tak nemusí centrovaný systém obsahovat s každou svou množinou i každou její nadmnožinu - nemusí to tedy být horní množina, kdežto filtr ano. To znamená, že zdaleka ne každý centrovaný systém je filtrem.

Na druhou stranu lze každý centrovaný systém $S\subseteq \mathbb{P}(X)$ rozšířit do nějakého filtru na množině $X$. Snadno lze ukázat, že množina
$F(S)=\{Y\subseteq X:(\mathrm{\exists }Q\in [S{]}^{<\omega })(\bigcap Q\subseteq Y)\}$
je nejmenší filtr na $X$, který v sobě obsahuje $S$.

Výše uvedený zápis vypadá sice hrůzostrašně, ale říká v podstatě toto:

1. Vezmu centrovaný systém $S$.
2. Přidám k němu všechny průniky jeho konečných podmnožin (čímž dostanu dolů usměrněnou nadmnožinu $S$).
3. K výsledku pak přidám pro každý její prvek i všechny jeho nadmnožiny (čímž dostanu horní nadmnožinu $S$, která je stále dolů usměrněná, takže výsledek je filtr).

Hlavní věta o ultrafiltrech

Úvaha provedená v předchozím odstavci vlastně neříká nic jiného, než že každý centrovaný systém lze rozšířit (přidáním dalších množin) na filtr. Pokud tento poznatek zkombinuji s tím, že každý filtr lze (podle principu maximality rozšířit do ultrafiltru, dostávám tvrzení nazývané v teorii množin hlavní věta o ultrafiltrech:
Každý centrovaný systém lze rozšířit do ultrafiltru.

Související články

• Filtr
• Ultrafiltr
• Svaz
• Potenční algebra