Nejmenší společný násobek

Šablona:Různé významy Nejmenší společný násobek (zkratka NSN či n, Šablona:Vjazyce2 – LCM) několika daných čísel je nejmenší kladné celé číslo, které je celočíselným násobkem všech daných čísel. Společný násobek dvou nebo několika čísel je takové číslo, které je násobkem každého z těchto daných čísel.

Příklad

Například nejmenší společný násobek čísel 15, 20 a 90 je 180.

Výpočet pomocí rozkladu

Nejmenší společný násobek dvou čísel lze nalézt tak, že každé z čísel je rozloženo na součin prvočísel (tzv. prvočíselný rozklad) a výsledný NSN je součinem největšího možného počtu všech prvočísel (resp. součin největších mocnin), která se vyskytují alespoň v jednom rozkladu.

Ukázka (součin největšího možného počtu prvočísel)

1. Zadaná čísla: 15 a 20
2. Číslo 15 lze rozložit na součin prvočísel 3 × 5
3. Číslo 20 lze rozložit na součin 2 × 2 × 5
4. Nejmenší součin musí obsahovat součin: 2 × 2, 3 a 5, což je 2 × 2 × 3 × 5 = 60.

Ukázka (součin největších možných mocnin)

1. Zadaná čísla: 36, 40
2. 36 = 2² × 3²
3. 40 = 2³ × 5¹
4. Výsledek: n(36, 40) = 2³ × 3² × 5¹ = 360

Ukázka se třemi čísly

1. Zadaná čísla: 15, 20, 90
2. 15 = 3 × 5
3. 20 = 2 × 2 × 5
4. 90 = 2 × 3 × 3 × 5
5. Výsledek: n(15, 20, 90) = 2 × 2 × 3 × 3 × 5 = 180

Výpočet pomocí NSD

Nejmenší společný násobek (NSN) lze vypočítat pomocí největšího společného dělitele (NSD) pomocí vzorečku:

$NSN(a,b)=\frac{a\times b}{NSD(a,b)}$

Využití

NSN se používá například při sčítání zlomků o různých jmenovatelích, kdy jmenovatel výsledku je nejmenším společným násobkem jmenovatelů sčítaných zlomků, například:

$\frac{1}{6}+\frac{1}{33}=\frac{11}{66}+\frac{2}{66}=\frac{13}{66}$

Vlastnost nejmenšího společného násobku a největšího společného dělitele

Součin největšího společného dělitele a nejmenšího společného násobku dvou čísel se rovná součinu těchto dvou čísel.

Důkaz

Jestliže největší společný dělitel dvou čísel $a$ a $b$ je $x$, potom lze číslo $a$ rozložit na součin $x\cdot y$ a číslo $b$ lze rozložit na součin $x\cdot z$. Je-li $x$ skutečně největším společným dělitelem, potom $x\cdot y\cdot z$ je nejmenším společným násobkem. Součin $a\cdot b$ je roven $x\cdot y\cdot x\cdot z$, což je také součin NSD a NSN.

Související články

• Největší společný dělitel

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• do-skoly.cz - Online kalkulátor pro výpočet nejmenšího společného násobku 2 - 5 čísel včetně postupu řešení.