Carmichaelova funkce

Carmichaelova funkce, pojmenovaná po Robertu Danielovi Carmichaelovi, je funkce z oboru teorie čísel značená λ(n), která pro přirozené číslo n vrátí nejmenší m takové, že

$a^m\equiv 1(\mathrm{mod}n)$

pro všechna přirozená čísla a menší než n a nesoudělná s n. Tedy vrátí exponent multiplikativní grupy celých čísel modulo n.

Prvních 26 hodnot této funkce pro n = 1, 2, 3 … je 1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 2, 6, 4, 10, 2, 12, 6, 4, 4, 16, 6, 18, 4, 6, 10, 22, 2, 20, 12, …

Carmichaelova věta

Carmichaelova věta říká, že Carmichaelovu funkci lze definovat se stejným výsledkem také pomocí rekurze:

Pro prvočíslo p a kladné celé číslo k takové, že p≥3 nebo k≤2 definujeme

$\lambda (p^k)=p^{k-1}(p-1)$,

což zároveň odpovídá hodnotě Eulerovy funkce.

Pro celá čísla k≥3 definujeme

$\lambda (2^k)=2^{k-2}$

a pro různá prvočísla $p_1,p_2,\dots ,p_t$ a kladná celá čísla $k_1,k_2,\dots ,k_t$ definujeme

$\lambda (p_1^{k_1}{p}_2^{k_2}\cdots p_t^{k_t})=\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{N}(\lambda (p_1^{k_1}),\lambda (p_2^{k_2}),\dots ,\lambda (p_t^{k_t}))$

kde $\mathrm{N}\mathrm{S}\mathrm{N}$ značí nejmenší společný násobek.

Jak je vidět, Carmichaelova věta zobecňuje výsledky Malé Fermatovy věty a Eulerovy věty.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat