Besselova funkce

Besselovy funkce jsou řešení Besselovy rovnice

$z^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}w(z)}{\mathrm{d}{z}^2}+z\frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z}+(z^2-{\nu }^2)w(z)=0$

pro libovolné reálné číslo $\nu$, které je označováno jako řád Besselovy funkce. Funkce jsou pojmenovány na počest německého matematika a fyzika Friedricha Wilhelma Bessela, který je poprvé popsal.

Cylindrické funkce

Cylindrickou funkcí se nazývá libovolné řešení Besselovy rovnice

Besselova funkce

Není-li $\nu$ celé číslo, pak lze obecné řešení Besselovy rovnice zapsat jako

$w(z)=c_1{J}_{\nu }(z)+c_2{J}_{-\nu }(z)$,

kde $J_{\nu }(z)$ a $J_{-\nu }(z)$ jsou lineárně nezávislé Besselovy funkce a $c_1,c_2$ jsou libovolné konstanty.

Besselovy funkce bývají také nazývány Besselovými funkcemi prvního druhu.

Besselova funkce řádu $\nu$ je definována vztahem

$J_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{{(-1)}^k}{k!\mathrm{\Gamma }(\nu +k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}$,

kde $\mathrm{\Gamma }(x)$ je gama funkce.

Je-li $\nu =n$ celé číslo, pak platí

$J_{-n}(z)={(-1)}^n{J}_n(z)$,

výše uvedená řešení tedy nejsou v tomto případě nezávislá.

Pro $n=0,1,2,...$ lze Besselovu funkci vyjádřit v integrálním tvaru

$J_n(z)=\frac{1}{\pi }\underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\cos (z\sin \theta -n\theta )\mathrm{d}\theta$

Platí následující rekurentní vztahy

$2\nu J_{\nu }(z)=z{J}_{\nu -1}(z)+z{J}_{\nu +1}(z)$

$2J_{\nu }^{\prime }(z)=J_{\nu -1}(z)-J_{\nu +1}(z)$

$z{J}_{\nu }^{\prime }(z)=\nu J_{\nu }(z)-z{J}_{\nu +1}(z)$

$z{J}_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu J_{\nu }(z)+z{J}_{\nu -1}(z)$

Neumannova funkce

Je-li $\nu =n$ celé číslo, pak $J_n(z)$ a $J_{-n}(z)$ nejsou lineárně nezávislé. V takovém případě má obecný integrál tvar

$w(z)=c_1{J}_n(z)+c_2{N}_n(z)$,

kde $N_n(z)$ je tzv. Neumannova funkce (někdy též Weberova funkce), které jsou také řešením Besselovy rovnice.

Pro Neumannovy funkce se používá označení Besselovy funkce druhého druhu.

Neumannovy funkce jsou pro celočíselná $\nu =n$ definovány vztahem

$N_n(z)=\underset{\nu \to n}{\lim }\frac{J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }$

Pro $\nu$ různé od celého čísla je pak Neumannova funkce definována vztahem

$N_{\nu }(z)=\frac{J_{\nu }(z)\cos \nu \pi -J_{-\nu }(z)}{\sin \nu \pi }$

Je-li $\nu =n$ celé číslo, pak platí

$N_{-n}(z)={(-1)}^n{N}_n(z)$

Mezi Besselovými a Neumannovými funkcemi platí vztah

$J_{\nu }(z)N_{\nu +1}(z)-J_{\nu +1}(z)N_{\nu }(z)=-\frac{2}{\pi z}$

Platí následující rekurentní vztahy

$2\nu N_{\nu }(z)=z{N}_{\nu -1}(z)+z{N}_{\nu +1}(z)$

$2N_{\nu }^{\prime }(z)=N_{\nu -1}(z)-N_{\nu +1}(z)$

$z{N}_{\nu }^{\prime }(z)=\nu N_{\nu }(z)-z{N}_{\nu +1}(z)$

$z{N}_{\nu }^{\prime }(z)=-\nu N_{\nu }(z)+z{N}_{\nu -1}(z)$

Hankelova funkce

Důležitými cylindrickými funkcemi jsou tzv. Hankelovy funkce $H_{\nu }^{(1)}(z)$ a $H_{\nu }^{(2)}(z)$, které jsou definovány jako

$H_{\nu }^{(1)}(z)=J_{\nu }(z)+\mathrm{i}{N}_{\nu }(z)$

$H_{\nu }^{(2)}(z)=J_{\nu }(z)-\mathrm{i}{N}_{\nu }(z)$

Hankelova funkce bývá také označována jako Besselova funkce třetího druhu.

Sférické cylindrické funkce

Sférickou cylindrickou funkcí nazveme každé řešení rovnice

$z^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}w(z)}{\mathrm{d}{z}^2}+2z\frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z}+[z^2-l(l+1)]w(z)=0$

pro celá nezáporná $l$.

Za dvě nezávislá řešení lze zvolit sférickou Besselovu funkci

$j_l(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2z}}{J}_{l+\frac{1}{2}}(z)$

a sférickou Neumannovu funkci

$n_l(z)=\sqrt{\frac{\pi }{2z}}{N}_{l+\frac{1}{2}}(z)={(-1)}^{l+1}\sqrt{\frac{\pi }{2z}}{J}_{-l-\frac{1}{2}}(z)$,

kde $J_n$ jsou Besselovy funkce a $N_n$ jsou Neumannovy funkce.

Mezi sférickými Besselovými a sférickými Neumannovými funkcemi platí vztah

$j_l(z)n_{l+1}(z)-j_{l+1}(z)n_l(z)=-z^{-2}$

Jinou dvojicí nezávislých řešení jsou sférické Hankelovy funkce

$h_l^{(1)}(z)=j_l(z)+\mathrm{i}{n}_l(z)$

$h_l^{(2)}(z)=j_l(z)-\mathrm{i}{n}_l(z)$

Sférické cylindrické funkce lze vyjádřit následujícími vztahy

$j_l(z)={(-z)}^l{\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l\frac{\sin z}{z}$

$n_l(z)=-{(-z)}^l{\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l\frac{\cos z}{z}$

$h_l^{(1)}(z)=-\mathrm{i}{(-z)}^l{\left(\frac{\mathrm{d}}{z\mathrm{d}z}\right)}^l\frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{i}z}}{z}$

Lze ukázat, že platí

$j_l(-z)={(-1)}^l{j}_l(z)$

$n_l(-z)={(-1)}^{l+1}{n}_l(z)$

$h_l^{(1)}(-z)={(-1)}^l{h}_l^{(2)}(z)$

$h_l^{(2)}(-z)={(-1)}^l{h}_l^{(1)}(z)$

Modifikovaná Besselova funkce

Modifikované Besselovy funkce jsou řešením modifikované Besselovy rovnice

$z^2\frac{{\mathrm{d}}^{2}w(z)}{\mathrm{d}{z}^2}+z\frac{\mathrm{d}w(z)}{\mathrm{d}z}-(z^2+{\nu }^2)w(z)=0$

Modifikovaná Besselova funkce prvního druhu

Není-li $\nu$ celé číslo, pak má řešení modifikované Besselovy rovnice tvar

$w(z)=c_1{I}_{\nu }(z)+c_2{I}_{-\nu }(z)$,

kde $I_{\nu }(z)$ je modifikovaná Besselova funkce prvního druhu, která je definována vztahem

$I_{\nu }(z)={\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu }\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{K!\mathrm{\Gamma }(\nu +k+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}$

Modifikovanou Besselovu funkci lze vyjádřit pomocí Besselovy funkce jako

$I_{\nu }(z)={\mathrm{i}}^{-\nu }{J}_{\nu }(\mathrm{i}z)$

Modifikovaná Besselova funkce druhého druhu

Pro celá $\nu =n$ platí

$I_{-n}(z)=I_n(z)$

Pro celá $n$ tedy nejsou $I_n(z)$ a $I_{-n}(z)$ lineárně nezávislé funkce a obecné řešení modifikované Besselovy rovnice je nutné vyjádřit ve tvaru

$w(z)=c_1{I}_n(z)+c_2{K}_n(z)$,

kde $K_n(z)$ je modifikovaná Besselova funkce druhého druhu (označovaná též jako MacDonaldova funkce).

Pro necelé $\nu$ je definováno

$K_{\nu }(z)=\frac{\pi }{2}\frac{I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }$

Pro celá $\nu =n$ pak platí

$K_n(z)=\underset{\nu \to n}{\lim }\frac{\pi }{2}\frac{I_{-\nu }(z)-I_{\nu }(z)}{\sin \nu \pi }$

Fresnelův ohyb světla na hraně

Důležitým příkladem použití Besselových funkcí je Fresnelův ohyb světla na hraně.

Ohyb světla na přímé hraně.
V případě osvětlení monochromatickým světlem dochází při ohybu na hraně ke vzniku ohybových proužků, které jsou rovnoběžné s přímou hranou.
V horní části je zobrazen pozorovaný jev, a ve spodní části je rozdělení intenzity světla.

Související články

• Diferenciální rovnice
• Friedrich Wilhelm Bessel

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat

Literatura

• Rektorys, K. a spol.: Přehled užité matematiky I.. Prometheus, Praha, 2003, 7. vydání. Šablona:ISBN