Bernoulliho diferenciální rovnice

Šablona:Různé významy Bernoulliho diferenciální rovnice je v matematice obyčejná diferenciální rovnice tvaru:

$y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n$

kde $n$ je reálná konstanta. Pro $n=0$ přejde Bernoulliho rovnice na nehomogenní lineární rovnici, pro $n=1$ na homogenní lineární rovnici. Rovnice je pojmenována po Jacobu Bernoullim, který ji popsal v roce 1695. Význam Bernoulliho diferenciální rovnice tkví v tom, že se jedná o nelineární diferenciální rovnice, u kterých je známo přesné řešení. Speciálním případem Bernoulliho rovnic je logistická diferenciální rovnice.

Transformace na lineární diferenciální rovnici

Pro $n=0$ a $n=1$ je Bernoulliho rovnice lineární. Pro $n\ne 0$ a $n\ne 1$ převádí substituce $u=y^{1-n}$ libovolnou Bernoulliho rovnici na lineární diferenciální rovnici.

Například:

Uvažujme následující diferenciální rovnici: $x\frac{dy}{dx}+y=x^2{y}^2$

Přepíšeme ji do Bernoulliho tvaru (pro $n=2$): $\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=x{y}^2$

Odtud substitucí $u=y^{-1}$ dostaneme $\frac{du}{dx}-\frac{1}{x}u=-x$, což je lineární diferenciální rovnice.

Řešení

Nechť $x_0\in (a,b)$ a

$\{\begin{array}{cc}z:(a,b)\to (0,\mathrm{\infty }),& \text{pro}\alpha \in ℝ\setminus \{1,2\},\\ z:(a,b)\to ℝ\setminus \{0\},& \text{pro}\alpha =2,\end{array}$

je řešením lineární diferenciální rovnice

$z^{\prime }(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).$

Odtud plyne, že $y(x):=[z(x){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}$ je řešením rovnice

$y^{\prime }(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x),y(x_0)=y_0:=[z(x_0){]}^{\frac{1}{1-\alpha }}.$

a pro každou takovou diferenciální rovnici a pro všechna $\alpha >0$ je $y\equiv 0$ řešením pro $y_0=0$.

Příklad

Uvažujme Bernoulliho rovnici (v tomto případě Riccatiho rovnici).

$y^{\prime }-\frac{2y}{x}=-x^2{y}^2$

Nejprve si všimněme, že jedním řešením je $y=0$. Vydělením $y^2$ dostáváme

$y^{\prime }{y}^{-2}-\frac{2}{x}{y}^{-1}=-x^2$

Substitucí proměnných

$w=\frac{1}{y}$

$w^{\prime }=\frac{-y^{\prime }}{y^2}$

dostáváme rovnici

$-w^{\prime }-\frac{2}{x}w=-x^2$

$w^{\prime }+\frac{2}{x}w=x^2$

kterou lze řešit metodou integračního faktoru

$M(x)=e^{2\int \frac{1}{x}dx}=e^{2\ln x}=x^2.$

vynásobením $M(x)$ dostaneme

$w^{\prime }{x}^2+2xw=x^4,$

všimněme si, že levá strana je derivací výrazu $w{x}^2$. Integrováním obou stran podle $x$ dostáváme rovnici

$\int w^{\prime }{x}^2+2xwdx=\int x^{4}dx$

$w{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

$\frac{1}{y}{x}^2=\frac{1}{5}{x}^5+C$

Tedy řešení pro $y$ je

$y=\frac{x^2}{\frac{1}{5}{x}^5+C}$.

Odkazy

Reference

• Šablona:Citace monografie.
• Šablona:Citace monografie.

Související články

• Obyčejné diferenciální rovnice

Externí odkazy

• Bernoulli equation na planetmath.org
• Differential equation na planetmath.org
• Index of differential equations na planetmath.org