Analytická funkce

Analytická funkce je funkce, kterou lze na okolí každého bodu vyjádřit jako součet mocninné řady. Pro funkci $f(x)$ to znamená na okolí bodu $x_0$

$f(x)=\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_i(x-x_0{)}^i$,

kde $x_0$ je libovolný bod $𝐃$. Uvedená řada je tedy konvergentní pro všechna $x$ z okolí bodu $x_0$. Analytické funkce mohou být reálné, ale také komplexní.

Všechny holomorfní funkce jsou analytické.

Příklady

Analytické funkce jsou například polynomy, trigonometrické funkce, exponenciála a logaritmus na svém definičním oboru.

Příkladem analytické funkce komplexní proměnné je logaritmická funkce komplexní proměnné z. Tzv. hlavní větev logaritmu z je definována vztahem

${\ln }_{0}z=\ln r+\mathrm{i}\phi$

pro $r>0$ a $-\pi <\phi \le \pi$, kde $z=r(\cos \phi +\mathrm{i}\sin \phi )$. Tato funkce je holomorfní funkce v celé komplexní rovině s výjimkou bodu $z=0$ a bodů na záporné reálné ose, kde je nespojitá (její imaginární část má v těchto bodech skok $-2\pi$).

Vlastnosti

• Součet analytických funkcí je analytická funkce.
• Součin analytických funkcí je analytická funkce.

Literatura

• Krantz, Steven; Harold R., Parks (2002), A Primer of Real Analytic Functions (Second ed.), Birkhäuser

Související články

• Holomorfní funkce
• Funkce
• Komplexní analýza