Absolutní hodnota

Absolutní hodnota je matematický pojem, který souvisí s pojmy velikosti a vzdálenosti. Vyjadřuje vzdálenost obrazu čísla na číselné ose od nuly a značí se dvěma svislými čarami: $|x|$. Absolutní hodnota čísla je vždy číslo nezáporné, tedy větší nebo rovno nule. Absolutní hodnota z kladného čísla je stejné číslo ($|x|=x$; např. $|3|=3$). Absolutní hodnota ze záporného čísla je číslo opačné ($|-x|=x$; např. $|-3|=3$). Absolutní hodnota z nuly je nula.

Zápis |$x$| s $x$ mezi svislicemi představil Karl Weierstrass v roce 1841. Stejný zápis se užívá taktéž k označení mohutnosti.

Definice a vlastnosti

Reálná čísla

Absolutní hodnota reálného čísla $a$ je definována následovně:

$|a|=\{\begin{array}{cc}a,& \text{pokud }a\ge 0\\ -a,& \text{pokud }a<0\end{array}$

Jak je patrné z výše uvedené definice, absolutní hodnota čísla $a$ je vždy nezáporné číslo.

Pro každé reálné číslo platí:

1. $|a|=\sqrt{a^2}$
2. $|a|\ge 0$
3. $|a|=0\iff a=0$
4. $|ab|=|a|.|b|$
5. $|a+b|\le |a|+|b|$ (trojúhelníková nerovnost)
6. $|(|a|)|=|a|$
7. $|-a|=|a|$
8. $|a-b|=0\iff a=b$
9. $|a-b|\le |a-c|+|c-b|$
10. $\left|\frac{a}{b}\right|=\frac{|a|}{|b|}$ (pro b ≠ 0)
11. $|a-b|\ge |(|a|-|b|)|$

Absolutní hodnota v nerovnosti (pro $b\ge 0$):

$|a|\le b\iff -b\le a\le b$

$|a|\ge b\iff a\le -b\vee b\le a$

Tyto vztahy se často používají pro řešení nerovnic s absolutní hodnotou.

Například:
$|x-3|\le 9\iff -9\le x-3\le 9$

$\iff -6\le x\le 12$

Absolutní hodnota funkce $|f|:y=|f(x)|,x\in D(f)\subset R$ je funkce označovaná $|f|$, jejíž funkční hodnoty jsou rovny $|f(x)|$ a která má definiční obor $D(|f|)=D(f)$.

Podle definice absolutní hodnoty reálného čísla je:

$|f|:y=|f(x)|=\{\begin{array}{ccc}& f(x),& \text{pro}f(x)\ge 0,\\ & -f(x),& \text{pro}f(x)<0\\ \end{array}$

Funkce s absolutní hodnotou - Tím se rozumí funkce, která vychází z jakékoli funkce (lineární, kvadratické, logaritmické, goniometrické atd.), pokud ve svém předpisu obsahuje absolutní hodnotu.

Absolutní hodnota jako funkce je pro reálná čísla definována takto: $f(x)=|x|$ .

Graf funkce absolutní hodnoty reálného čísla

Její vlastnosti:

• $D(f)=R;$
• $H(f)=⟨0,\mathrm{\infty })$;
• klesající v intervalu $(-\mathrm{\infty },0⟩$ ;
• rostoucí v intervalu $⟨0,\mathrm{\infty })$;
• je zdola omezená, shora omezená není;
• v bodě 0 má minimum, nemá maximum;
• je sudá, není prostá, není periodická;
• spojitá ve všech bodech a diferencovatelná ve všech bodech kromě $x$ = 0.

Komplexní čísla

Absolutní hodnota komplexního čísla $|z|$ je rovna vzdálenosti bodu, který je obrazem tohoto čísla v Gaussově rovině, od počátku soustavy souřadnic. Všechna komplexní čísla $z$, která mají stejnou absolutní hodnotu, vyplní v Gaussově rovině kružnici se středem v počátku a s poloměrem rovným číslu $|z|$. Absolutní hodnoty komplexních čísel $|z_1|,|z_2|,|z_1+z_2|,|z_1-z_2|$ jsou v Gaussově rovině rovny vzdálenostem obrazů komplexních čísel $z_1,z_2,z_1+z_2,z_1-z_2$ od počátku soustavy souřadnic.

Absolutní hodnota komplexního čísla $z=a+bi$, kde $a$ a $b$ jsou reálná čísla, je definována vztahem: $|z|=\sqrt{z.\overline{z}}=\sqrt{a^2+b^2},$ kde $\overline{z}=a-bi.$

Vlastnosti:

• Imaginární část $b$ komplexního čísla je rovna nule, pak je absolutní hodnota komplexního rovna absolutní hodnotě reálného čísla $a$.
• Pokud je komplexní číslo v exponenciálním (polárním) tvaru jako $z=r{e}^{i\theta }$ kde r ≥ 0 a θ náleží reálným číslům absolutní hodnota je $|z|=r$.
• $|z|=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$, kde z s pruhem je číslo komplexně sdružené k $z$.
• Absolutní hodnota komplexního čísla má vlastnosti reálné absolutní hodnoty uvedené výše v rovnicích (2) až (11).
• Pro komplexní čísla je absolutní hodnota spojitá ve všech bodech, ale není diferencovatelná v žádném bodě.

Kvaterniony

viz také kvaternion

Definice normy kvaternionu: $|h|=\sqrt{h{h}^{*}}$, kde $h^{*}=a-bi-cj-dk$ .

Norma kvaterninonu, zapsaná v algebraickém tvaru $h=a+bi+cj+dk$ je dána definicí: $|h|=\sqrt{a^2+b^2+c^2+d^2}$, kde $a$, $b$, $c$ a $d$ jsou reálná čísla.

Vektory

viz také vektor

Absolutní hodnota (norma) nebo délka vektoru v trojrozměrném euklidovském prostoru $\text{x}=(x_1,x_2,x_3)\in {ℝ}^3$ je definována výrazem $\left|\text{x}\right|=\sqrt{x_1^2+x_2^2+x_3^2}$ .

Pomocí souřadnic vektoru $\text{x}\in {ℂ}^n$ v ortonormální bázi je jeho norma dána výrazem: $\left|\text{x}\right|=\sqrt{|x_1{|}^2+|x_2{|}^2+...+|x_n{|}^2}$ .

Definice vyjádřená skalárním součinem: $\left|\text{x}\right|=\sqrt{{\text{x}}^{*}\cdot \text{x}}$, kde ${\text{x}}^{*}$ je vektor komplexně sdružených čísel.

Pro normu vektoru se používá označení ||x||, ke zdůraznění, že argumentem normy není číslo, ale vektor.

Abstraktně se norma na komplexním vektorovém prostoru $V$ zavádí jako reálná funkce těmito požadavky:

• $|x|\ge 0$ (nezápornost),
• $|x|=0\leftrightarrow x=0$ (definitnost),
• $|\lambda x|=|\lambda |.|x|$ (homogenita),
• $|x+y|\le |x|+|y|$ (trojúhelníková nerovnost),

pro všechny $x,y\in V,\lambda \in ℂ$.

Prostory

Základní vlastnosti absolutní hodnoty pro reálná čísla (viz 2. až 5. - reálná čísla) lze použít k zobecnění absolutní hodnoty v libovolném prostoru.

Absolutní hodnota reálná funkce v v poli F platí, pokud splňuje tyto čtyři axiomy:

• $v(a)\ge 0$
• $v(a)=0⟺a=\mathrm{𝟎}$
• $v(ab)=v(a)v(b)$
• $v(a+b)\le v(a)+v(b)$

Absolutní hodnotu reálných a komplexních čísel je možno uvést jako příklady absolutních hodnot pro libovolné pole.

Jestliže v je absolutní hodnota F, pak funkce d na F × F, kde d(a, b) = v(a − b), je metrikou a platí následující:

• $d$ splňuje nerovnost $d(x,y)\le \max (d(x,z),d(y,z))$ pro všechna $x,y,z\in F$
• $\left\{v\right({\sum }_{k=1}^n\mathrm{𝟏}):n\in \mathbb{N}\}$ je omezená v $ℝ$
• $v\left({\sum }_{k=1}^n\mathrm{𝟏}\right)\le 1$ pro každé $n\in \mathbb{N}$
• $v(a)\le 1\Rightarrow v(1+a)\le 1$ pro všechna $a\in F$
• $v(a+b)\le \mathrm{m}\mathrm{a}\mathrm{x}\{v(a),v(b)\}$ pro všechna $a,b\in F$

Vztah absolutní hodnoty k funkci signum

Pomocí znaménkové funkce signum lze vyjádřit absolutní hodnotu jako

$|x|=x\cdot \mathrm{sgn}x$ .

Platí také

$x=|x|\cdot \mathrm{sgn}x$ .

Derivace

Funkce absolutní hodnoty má konstantní derivaci pro x≠0, v bodě x=0 neexistuje:

$\frac{d|x|}{dx}=\{\begin{array}{cc}-1& x<0\\ 1& x>0\end{array}$ .

Platí tedy

$\frac{d|x|}{dx}=\frac{|x|}{x}=\mathrm{sgn}x$ .

Druhá derivace |x| je nula, mimo hodnoty pro x=0, kde neexistuje.

Neurčitý integrál

Neurčitý integrál (primitivní funkce) funkce absolutní hodnoty je:

$\int |x|dx=\frac{x|x|}{2}=\frac{x^2}{2}\mathrm{sgn}x.$

Vzdálenost

Absolutní hodnota úzce souvisí s myšlenkou vzdálenosti. Jak bylo uvedeno výše, absolutní hodnota reálného nebo komplexního čísla je vzdálenost čísla od počátku (na reálné ose pro reálná čísla, v komplexní rovině pro komplexní čísla). Obecně: absolutní hodnota rozdílu dvou čísel (reálných nebo komplexních) je vzdálenost mezi nimi.

Standardní eukleidovská metrika mezi dvěma body

$a=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$

a

$b=(b_1,b_2,\dots ,b_n)$

je v eukleidovském prostoru definována jako

$\sqrt{\sum _{i=1}^n(a_i-b_i{)}^2}.$

Absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou reálná čísla, lze vyjádřit jako

$|a-b|=\sqrt{(a-b{)}^2}.$

Zatímco absolutní hodnotu rozdílu |a − b|, kde a i b jsou komplexní čísla

$a=a_1+i{a}_2$ a $b=b_1+i{b}_2$ , pak

$|a-b|=|(a_1+i{a}_2)-(b_1+i{b}_2)|$

$=|(a_1-b_1)+i(a_2-b_2)|$

$=\sqrt{(a_1-b_1{)}^2+(a_2-b_2{)}^2}.$

Zobecnění

Reálné zobrazení $d:ℳ\times ℳ\to ℝ$ se nazývá metrika, jestliže splňuje tyto čtyři axiomy (pro libovolná $a,b,c\in ℳ$):

$d(a,b)\ge 0$

$d(a,b)=0⟺a=b$

$d(a,b)=d(b,a)$

$d(a,b)\le d(a,c)+d(c,b)$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat