Číselná struktura

Číselná struktura je v matematice algebraická struktura, jejímž nosičem je číselná množina. Na takové množině pak jsou určitým způsobem definovány příslušné matematické relace a operace. Číselné struktury se tvoří od nejjednodušších ke složitějším, jednodušší struktury jsou rozšiřovány na ty složitější.

$\mathbb{N}\to \mathbb{Z}\to \mathbb{Q}\to ℝ\to ℂ\to \dots$

Konstrukce

Při konstrukci struktur je postup obvykle následující: nejprve je sestrojen nosič struktury (číselná množina), poté příslušné relace a operace a nakonec je určen způsob, jakým se do nové struktury zobrazí struktury jednodušší.

Přirozená čísla

Přirozená čísla jsou nejjednodušší číselnou strukturou a základem konstrukce těch složitějších. Nosičem je množina přirozených čísel označující počty objektů. Výsledná struktura je uzavřená na operaci sčítání a násobení, není uzavřená na operaci odčítání a dělení. Prvky struktury lze jednoznačně porovnávat – o libovolných dvou prvcích lze říct, který je menší (<). Lze také jednoznačně říct, který prvek je následovníkem (x') druhého.

Přirozená čísla se obvykle definují prostřednictvím Peanových axiomů, lze je však určit (snad lépe) i následovně:

• $(\mathrm{\forall }x)x=x$
• $(\mathrm{\forall }x,y)x=y\iff y=x$
• $(\mathrm{\forall }x,y,z)x=y\wedge y=z\Rightarrow x=z$
• $(\mathrm{\forall }x\mathrm{\exists }!y)y=x^{\prime }$
• $(\mathrm{\forall }x,y\mathrm{\exists }!z)z=x+y$
• $(\mathrm{\forall }x,y\mathrm{\exists }!z)z=x\cdot y$
• $(\mathrm{\forall }x,y)x=y\iff x^{\prime }=y^{\prime }$
• $(\mathrm{\forall }p,q,x,y)x=y\wedge p=q\iff x+p=y+q$
• $(\mathrm{\forall }p,q,x,y)x=y\wedge p=q\iff x\cdot p=y\cdot q$
• $(\mathrm{\exists }x\mathrm{\forall }y)y^{\prime }=x$
• $(\mathrm{\forall }x,y)x^{\prime }=y^{\prime }\Rightarrow x=y$
• $(\mathrm{\forall }x)x+0=x$
• $(\mathrm{\forall }x)x\cdot 0=0$
• $(\mathrm{\forall }x,y)x+y^{\prime }=(x+y{)}^{\prime }$
• $(\mathrm{\forall }x,y)x\cdot y^{\prime }=(x\cdot y)+x$
• Nechť $\varphi (x)$ je formule s právě jednou volnou proměnnou $x$. Pak $\varphi (0)\wedge (\mathrm{\forall }x)(\varphi (x)\Rightarrow \varphi (x^{\prime }))\Rightarrow (\mathrm{\forall }x)\varphi (x)$ je axiom.

Celá čísla

Celá čísla jsou číselná struktura, ve které je (oproti číslům přirozeným) neomezeně proveditelné také odčítání. Konstrukce vychází z toho, že každé celé číslo lze vyjádřit jako rozdíl přirozených čísel.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic přirozených čísel: $\mathbb{N}\times \mathbb{N}$
• Ekvivalence: $[x,y]\approx [u,v]\iff x+v=y+u$
• Rozklad na třídy ekvivalence T: $\mathbb{Z}=\mathbb{N}\times \mathbb{N}/\approx$
• Sčítání: $T[x,y]+T[u,v]=T[x+u,y+v]$
• Násobení: $T[x,y]\cdot T[u,v]=T[xu+yv,xv+yu]$
• Obrazem přirozených čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: $T[x,0]$, kde $x$ je přirozené číslo
• $T[x,y]=x-y$

Racionální čísla

Racionální čísla jsou číselná struktura, ve které je (oproti číslům celým) neomezeně proveditelné také dělení. Konstrukce vychází z toho, že každé racionální číslo lze vyjádřit jako podíl celého čísla a přirozeného čísla (ne nuly).

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic celých čísel: $\mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{+}$
• Ekvivalence: $\frac{x}{y}\approx \frac{u}{v}\iff xv=yu$
• Rozklad na třídy ekvivalence T: $\mathbb{Q}=\mathbb{Z}\times {\mathbb{N}}^{+}/\approx$
• Sčítání: $T\frac{x}{y}+T\frac{u}{v}=T\frac{xv+yu}{yv}$
• Násobení: $T\frac{x}{y}\cdot T\frac{u}{v}=T\frac{xu}{yv}$
• Obrazem celých čísel v nové struktuře jsou čísla ve tvaru: $T\frac{x}{1}$, kde $x$ je celé číslo

Reálná čísla

Reálná čísla se obvykle konstruují z racionálních čísel pomocí Dedekindových řezů.

Komplexní čísla

Komplexní čísla jsou množinou, ve které je řešitelná rovnice $x^2+1=0$ a to tak, že $x=\sqrt{-1}=i$.

• Nosičem struktury je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel: $ℝ\times ℝ$
• Ekvivalence: $[x,y]=[u,v]\iff x=u\wedge y=v$
• Sčítání: $[x,y]+[u,v]=[x+u,y+v]$
• Násobení: $[x,y]\cdot [u,v]=[xu-yv,xv+yu]$