Stokesova věta

Stokesova věta je věta diferenciální geometrie, která popisuje vztah mezi křivkovým integrálem druhého druhu vektorového pole v prostoru přes hladkou uzavřenou orientovanou křivku a plošným integrálem rotace vektorového pole přes hladkou orientovanou plochu křivkou uzavřenou. Tato věta je speciálním případem tzv. zobecněné Stokesovy věty. Naopak speciálním případem Stokesovy věty v rovině je Greenova věta. Autorem Stokesovy věty je irský fyzik Georg Stokes.

Znění věty

Ilustrace Stokesovy věty s plochou Šablona:Math = Šablona:Math orientovanou normálou Šablona:Math a její hranicí Šablona:Math = Šablona:Math, tj. orientovanou křivkou.

Je-li $𝐅(x,y,z)=[F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z)]$ vektorové pole se spojitými parciálními derivacemi prvního řádu na otevřené jednoduše souvislé po částech hladké kladně orientované ploše $S$ ohraničené po částech hladkou jednoduchou uzavřenou kladně orientovanou křivkou $C$, pak platí:

$\begin{array}{cc}{\oint }_C𝐅\cdot \mathrm{d}𝐫& =\underset{S}{\iint }\left(\mathrm{\nabla }\times 𝐅\right)\cdot 𝐧\mathrm{d}S,\\ & =\underset{S}{\iint }(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z})\mathrm{d}y\mathrm{d}z+(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x})\mathrm{d}z\mathrm{d}x+(\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y})\mathrm{d}x\mathrm{d}y,\\ & ={\oint }_C(F_x\mathrm{d}x+F_y\mathrm{d}y+F_z\mathrm{d}z),\end{array}$

kde $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$ je rotace vektorového pole $𝐅(𝐫)$, kde $\mathrm{d}𝐫=[dx,dy,dz]$, vyjádřená pomocí operátoru nabla a křivka $C$ je orientována tak, že při obíhání po této křivce v kladném smyslu je plocha $S$ vždy po levé straně.

Související články

• Fubiniova věta

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat