Hyperbola

Hyperbola jako kuželosečka.

Ilustrace definice: ohniska (B1, B2); bod hyperboly (P); vzdálenosti ohnisek (d1, d2).

Hyperbola je rovinná křivka, kuželosečka s výstředností větší než 1. Lze ji také definovat jako množinu všech bodů v rovině o daném rozdílu vzdáleností od dvou pevných ohnisek.

Hyperbola také tvoří graf funkce $y=1/x$ v kartézské soustavě souřadnic.

Tvar hyperboly má dráha tělesa v poli centrální síly (gravitační nebo elektrické pole vytvořené tělesem, které lze aproximovat bodem – tuto aproximaci lze beze ztráty přesnosti udělat pro všechna sféricky symetrická tělesa pro prostor mimo jejich vnitřek), pokud je rychlost tohoto tělesa vyšší, než je úniková rychlost.

Matematická vyjádření

Implicitní vyjádření

$\Vert F_{1}X\Vert -\Vert F_{2}X\Vert =2a$

Množina všech bodů X v rovině, které mají od dvou různých ohnisek $F_1$ a $F_2$ konstantní (neměnnou) absolutní hodnotu rozdílu vzdáleností.

Kartézský souřadnicový systém

Hyperbola v kartézském souřadnicovém systému, hlavní osa rovnoběžná s osou y.

Standardní popis hyperboly:

S[m, n] – Střed hyperboly o souřadnicích m, n
F₁, F₂ – ohniska hyperboly
A, B – vrcholy hyperboly
o₁ – hlavní osa hyperboly
o₂ – vedlejší osa hyperboly
p₁, p₂ – asymptoty hyperboly
$|AS|=|SB|=a$ – délka hlavní poloosy
$|CS|=|SD|=b$ – délka vedlejší poloosy
$|F_{1}S|=|F_{2}S|=\sqrt{a^2+b^2}=e$ excentricita
$|AB|=2a$ – délka hlavní osy
$|CD|=2b$ – délka vedlejší osy
X[x, y] – libovolný bod náležící hyperbole

Pokud $a=b$, pak dostáváme rovnici rovnoosé hyperboly.

Charakteristické rovnice hyperboly dle jejího umístění

• Hlavní osa $o_1$ hyperboly rovnoběžná s osou $x$

Středová rovnice:

$\frac{(x-m{)}^2}{a^2}-\frac{(y-n{)}^2}{b^2}=1$

Obecná rovnice:

$A{x}^2-B{y}^2+Cx+Dy+E=0,A>0,B>0$

Rovnice asymptot:

$y-n=\pm \frac{b}{a}(x-m)$

Rovnice tečny v bodě $T[x_0,y_0]$:

$\frac{(x-m)(x_0-m)}{a^2}-\frac{(y-n)(y_0-n)}{b^2}=1$

• Hlavní osa $o_1$ hyperboly rovnoběžná s osou $y$

Středová rovnice:

$\frac{(y-n{)}^2}{a^2}-\frac{(x-m{)}^2}{b^2}=1$

Obecná rovnice:

$-A{x}^2+B{y}^2+Cx+Dy+E=0,A>0,B>0$

Rovnice asymptot:

$y-n=\pm \frac{a}{b}(x-m)$

Rovnice tečny v bodě $T[x_0,y_0]$:

$\frac{(y-n)(y_0-n)}{a^2}-\frac{(x-m)(x_0-m)}{b^2}=1$

• Asymptoty $p_1,p_2$ rovnoběžné s osami $x$ a $y$

Asymptoty totožné s osami x a y: y = 1/x

Středová rovnice:

$(x-m)(y-n)=c$

$a=b=\sqrt{2|c|}$

Obecná rovnice:

$xy+Ax+By+C=0$

Rovnice asymptot:

$x=m,y=n$

Převedení obecné rovnice na středovou

Uspořádáme členy v rovnici.

$2x^2+4x-y^2+3y-\frac{17}{4}=0$

Z prvních dvou členů vytkneme dvojku (koeficient) a doplníme je na druhou mocninu dvojčlenu. To samé provedeme i u následujících dvou členů, s tím rozdílem, že vytkneme minus.

$2[{(x+1)}^2-1]-[{(y-\frac{3}{2})}^2-\frac{9}{4}]=\frac{17}{4}$

Dále upravujeme rovnici tak, aby odpovídala středovému tvaru.

$2(x+1{)}^2-2-{(y-\frac{3}{2})}^2+\frac{9}{4}=\frac{17}{4}$

$2(x+1{)}^2-{(y-\frac{3}{2})}^2=4$

$\frac{(x+1{)}^2}{2}-\frac{{(y-\frac{3}{2})}^2}{4}=1$

Z výsledné rovnice snadno zjistíme vlastnosti hyperboly.
Jedná se o hyperbolu, jejíž hlavní osa $o_1$ je rovnoběžná s osou $x$.
$S[-1,\frac{3}{2}]$, $a=\sqrt{2}$, $b=2$, $e=\sqrt{6}$, $p_1:y=\sqrt{2}x+\frac{3+2\sqrt{2}}{2}$, $p_2:y=-\sqrt{2}x+\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$

Vzájemná poloha hyperboly a přímky

Řešíme soustavu rovnic hyperboly a přímky. Jestliže vyjde lineární rovnice, která popisuje přímku rovnoběžnou s jednou z asymptot – přímka je sečnou hyperboly s jedním průsečíkem. Pakliže lineární rovnice nemá žádné řešení – přímka není sečna. Pokud vyjde kvadratická rovnice a diskriminant $D$ je:

• D > 0 dvě řešení – přímka je sečna se dvěma průsečíky
• D = 0 jedno řešení – tečna s bodem dotyku
• D < 0 žádné řešení – přímka je nesečna

Vzájemná poloha hyperboly a bodu

Jestliže převedeme všechny členy rovnice hyperboly na levou stranu (anulujeme rovnici) a dosadíme souřadnice bodu, pak bude platit:

• výsledná hodnota = 0 bod náleží hyperbole
• výsledná hodnota < 0 bod se nachází ve vnější rovině hyperboly
• výsledná hodnota > 0 bod se nachází ve vnitřní rovině hyperboly

Polární souřadnicový systém

Pro hyperbolu se středem S umístěným v počátku platí rovnice:

$r^2=\frac{a^2{b}^2}{b^2{\cos }^2\theta -a^2{\sin }^2\theta }$

Pro hyperbolu s ohniskem F umístěným v počátku platí rovnice:

$r=\frac{a({ϵ}^2-1)}{1-ϵ\cos \theta }$

Literatura

• Karel Rektorys a kolektiv: Přehled užité matematiky I, Prometheus, Praha 1995, Šablona:ISBN, str. 102–103, 118–121 a 179–181
• Šárka Voráčová a kolektiv: Atlas geometrie – Geometrie krásná a užitečná, Academia, Praha 2012, Šablona:ISBN, str. 116–117

Související články

• Geometrický útvar
• Křivka
• Parabola (matematika)
• Elipsa
• Kružnice
• Mocninná křivka

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Vyčerpávající popis hyperboly