Normální podgrupa

Normální podgrupa (známá také jako invariantní podgrupa nebo samokonjugovaná podgrupa)Šablona:Sfn je v abstraktní algebře podgrupa, která je invariantní vůči konjugaci podle prvků grupy, jíž je částí. Jinými slovy podgrupa $N$ grupy $G$ je normální v $G$ právě tehdy, když $gn{g}^{-1}\in N$ pro všechny $g\in G$ a $n\in N$. Že $N$ je normální podgrupou $G$ zapisujeme $N◃G$.

Význam normálních podgrup spočívá v tom, že normální podgrupy (a pouze normální podgrupy) lze použít pro vytvoření faktorové grupy $G/N$ dané grupy. Navíc jsou normální podgrupy grupy $G$ právě jádry grupových homomorfismů s definičním oborem $G$, což znamená, že je lze použít pro interní klasifikaci těchto homomorfismů.

První, kdo si uvědomil význam normálních podgrup, byl Évariste Galois.Šablona:Sfn

Definice

Podgrupa $N$ grupy $G$ se nazývá normální podgrupa grupy $G$ (značíme $N◃G$), pokud je invariantní vůči konjugaci; tj. konjugace prvku podgrupy $N$ podle prvku grupy $G$ je vždy v $N$.Šablona:Sfn

Ekvivalentní podmínky

Pro libovolnou podgrupu $N$ grupy $G$ jsou následující podmínky ekvivalentní s tím, že $N$ je normální podgrupou grupy $G$. Proto libovolnou z nich můžeme použít jako definici normální podgrupy:

• Obraz konjugace podgrupy $N$ libovolným prvkem grupy $G$ je podmnožinou $N$,Šablona:Sfn tj. $gN{g}^{-1}\subseteq N$ pro všechny $g\in G$.
• Obraz konjugace podgrupy $N$ libovolným prvkem grupy $G$ je roven $N,$Šablona:Sfn tj. $gN{g}^{-1}=N$ pro všechny $g\in G$.
• Pro všechny $g\in G$ jsou si levé a pravé třídy $gN$ a $Ng$ rovné.Šablona:Sfn
• Množiny levých a pravých tříd podgrupy $N$ v $G$ jsou stejné.Šablona:Sfn
• Násobení v $G$ zachovává relaci ekvivalence „je ve stejné levé třídě jako“. Tj. pro každé $g,g^{\prime },h,h^{\prime }\in G$, které vyhovuje $gN=g^{\prime }N$ a $hN=h^{\prime }N$, platí $(gh)N=(g^{\prime }{h}^{\prime })N$.
• Existuje grupa na množina levých tříd podgrupy $N$ kde násobení libovolných dvou levých tříd $gN$ a $hN$ dává levou třídu $(gh)N$. Tato grupa se nazývá faktorová grupa grupy $G$ podle $N$ a značí se $G/N$.
• $N$ je sjednocením tříd konjugace grupy $G$.Šablona:Sfn
• $N$ se zachovává vnitřními automorfismy grupy $G$.Šablona:Sfn
• Existuje nějaký grupový homomorfismus $G\to H$ jehož jádro je $N$.Šablona:Sfn
• Existuje grupový homomorfismus $\varphi :G\to H$ jehož vlákna tvoří grupa kde neutrální prvek je $N$ a násobení libovolných dvou vláken ${\varphi }^{-1}(h_1)$ a ${\varphi }^{-1}(h_2)$ dává fiber ${\varphi }^{-1}(h_1{h}_2)$ (tato grupa je tatáž grupa $G/N$ se zmínil výše).
• Existuje nějaká kongruence na $G$, jejíž třída ekvivalence neutrálního prvku je $N$.
• Pro všechny $n\in N$ a $g\in G$ je komutátor $⟨n,g⟩=n^{-1}{g}^{-1}ng$ v $N$.Šablona:Doplňte zdroj
• Libovolné dva prvky komutují modulo relace příslušnosti k normální podgrupě.Šablona:Ujasnit Tj. pro všechny $g,h\in G$ je $gh\in N$ právě tehdy, když $hg\in N$.Šablona:Doplňte zdroj

Příklady

Pro libovolnou grupu $G$ je triviální podgrupa $\{e\}$ sestávající pouze z neutrálního prvku grupy $G$ vždy normální podgrupou grupy $G$. Podobně grupa $G$ samotná je vždy normální podgrupou grupy $G$ (pokud to jsou jediné normální podgrupy, pak o $G$ říkáme, že je jednoduchá).Šablona:Sfn Jiný pojmenovaný normální podgrupy libovolné grupy zahrnuje centrum grupy (množina prvků, které komutují se všemi ostatními prvky) a komutátorová podgrupa $⟨G,G⟩$.Šablona:SfnŠablona:Sfn Obecněji, protože konjugace je izomorfismus, libovolná charakteristická podgrupa je normální podgrupou.Šablona:Sfn

Pokud $G$ je Abelova grupa, pak každá podgrupa $N$ grupy $G$ je normální, protože $gN=\{gn{\}}_{n\in N}=\{ng{\}}_{n\in N}=Ng$. Obecněji pro libovolnou grupu $G$, každá podgrupa centra $Z(G)$ grupy $G$ je normální v $G$ (ve speciálním případě, když $G$ je Abelova je centrum grupy celé $G$, tedy fakt, že všechny podgrupy Abelovy grupa jsou normální). Grupa, které není Abelova, ale jejíž každá podgrupa je normální, se nazývá Hamiltonovská grupa.Šablona:Sfn

Konkrétní příkladem normální podgrupy je podgrupa $N=\{(1),(123),(132)\}$ symetrických grup $S_3$, sestávající z neutrální a oba tři-cykly. Konkrétně, můžeme kontrolovat, že každá levá třída podgrupy $N$ je jak rovno $N$ samotný nebo je rovno $(12)N=\{(12),(23),(13)\}$. Na druhou stranu, podgrupa $H=\{(1),(12)\}$ není normální v $S_3$, protože $(123)H=\{(123),(13)\}\ne \{(123),(23)\}=H(123)$.Šablona:Sfn To demonstruje obecný fakt, že libovolná podgrupa $H\le G$ indexu dva je normální.

Jako příklad normální podgrupy v grupě matic uvažujme obecnou lineární grupu ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ všech invertovatelných matic $n\times n$ reálných čísel s operací násobení matic a její podgrupu ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ všech matic $n\times n$ s determinantem 1 (speciální lineární grupa). Pro představu, proč podgrupa ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ je normální v ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(𝐑)$, uvažujme libovolnou matici $X$ v ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ a libovolnou invertibilní matici $A$. Pak použitím dvou důležitých identit $\det (AB)=\det (A)\det (B)$ a $\det (A^{-1})=\det (A{)}^{-1}$ dostáváme, že $\det (AX{A}^{-1})=\det (A)\det (X)\det (A{)}^{-1}=\det (X)=1$, takže také $AX{A}^{-1}\in {\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$. To znamená, že ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_n(𝐑)$ je uzavřená vůči konjugaci v ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(𝐑)$, takže je to normální podgrupa.Šablona:Poznámka

V grupě Rubikovy kostky podgrupy sestávající z operace, které ovlivňují pouze orientace buď rohových kostiček nebo hranových kostiček, jsou normální.Šablona:Sfn

Grupa posunutí je normální podgrupa Eukleidovy grupy v libovolné dimenzi.Šablona:Sfn To znamená, že použitím shodného zobrazení následovaného posunutím a inverzním shodným zobrazením, má stejný efekt jako samotné posunutí. Naproti tomu podgrupa všech rotací okolo počátku není normální podgrupou Eukleidovské grupy pro dvou nebo vícerozměrný prostor: provedení translace následované rotací kolem počátku a opačnou translací typicky změní počátek souřadnicového systému, a proto dá jiný výsledek než samotná rotace kolem počátku.

Vlastnosti

• Pokud $H$ je normální podgrupa grupy $G$, a $K$ je podgrupa grupy $G$ obsahující $H$, pak $H$ je normální podgrupa grupy $K$.Šablona:Sfn
• Normální podgrupa normální podgrupy grupy nemusí být normální v grupě. Čili normalita není Tranzitivní relace. Nejmenší grupa vykazující toto chování je Dihedrální grupa řádu 8.Šablona:Sfn Charakteristická podgrupa normální podgrupy však je normální.Šablona:Sfn Grupa, v niž je normalita tranzitivní, se nazývá T-grupa.Šablona:Sfn
• Dvě grupy $G$ a $H$ jsou normální podgrupy jejich přímý součin $G\times H$.
• Pokud grupa $G$ je semidirektním součinem $G=N⋊H$, pak $N$ je normální v $G$, ale $H$ nemusí být normální v $G$.
• Pokud $M$ a $N$ jsou normální podgrupy aditivní grupy $G$ takové, že $G=M+N$ a $M\cap N=\{0\}$, pak $G=M\oplus N$.Šablona:Sfn
• Surjektivní homomorfismy zachovávají normalitu;Šablona:Sfn tj., pokud $G\to H$ je surjektivní grupový homomorfismus a $N$ je normální v $G$, pak obraz $f(N)$ je normální v $H$.
• Inverzní obraz zachovává normalitu; Šablona:Sfn tj., pokud $G\to H$ je grupový homomorfismus a $N$ je normální v $H$, pak inverzní obraz $f^{-1}(N)$ je normální v $G$.
• Direktní součin grup zachovává normalitu; Šablona:Sfn tj., pokud $N_1◃G_1$ a $N_2◃G_2$, pak $N_1\times N_2◃G_1\times G_2$.
• Každá podgrupa indexu 2 je normální. Obecněji podgrupa $H$ konečného indexu $n$ v $G$ obsahuje podgrupu $K$, která je normální v $G$ a jejíž index dělí $n!$, která se nazývá normální jádro. Speciálně pokud $p$ je nejmenší prvočíslo dělící řád grupy $G$, pak každá podgrupa indexu $p$ je normální.Šablona:Sfn
• Skutečnost, že normální podgrupy grupy $G$ jsou právě jádra grupových homomorfismů definovaných na $G$, odpovídá za některé z významů normálních podgrup; jsou způsobem, jak interně klasifikovat všechny homomorfismy definované na grupě. Například neidentity konečné grupy je jednoduchá právě tehdy, když je izomorfní se všemi svými neidentickými homomorfními obrazy;Šablona:Sfn konečná grupa je dokonalá právě tehdy, když nemá žádné normální podgrupy prvočíselného indexu; grupa je nedokonalá právě tehdy, když odvozená podgrupa nemá žádnou vlastní normální podgrupu.

Svaz normálních podgrup

Jsou-li $N$ a $M$ dvě normální podgrupy grupy $G$, jejich průnik $N\cap M$ a jejich součin $NM=\{nm:n\in N\wedge m\in M\}$ je také normální podgrupa grupy $G$.

Normální podgrupy grupy $G$ tvoří svaz s relací inkluze množin s nejmenším prvkem $\{e\}$ a největším prvkem $G$. Průsek dvou normálních podgrup $N$ a $M$ v tomto svazu je jejich průnik a spojení je jejich součin.

Svaz je úplný a modulární.Šablona:Sfn

Normální podgrupy, faktorové grupy a homomorfismy

Pokud $N$ je normální podgrupa grupy $G$, je možné definovat násobení na levých třídách jako zobrazení $G/N\times G/N\to G/N$ takto:

$\left(a_{1}N\right)\left(a_{2}N\right):=\left(a_1{a}_2\right)N$

Pro důkaz, že toto zobrazení je korektně definované, je třeba dokázat, že výsledek nezávisí na volbě reprezentantů $a_1,a_2$. Za tímto účelem uvažujme jiné reprezentanty ${a_1}^{\prime }\in a_{1}N,{a_2}^{\prime }\in a_{2}N$. Pak existují $n_1,n_2\in N$ takové, že ${a_1}^{\prime }=a_1{n}_1,{a_2}^{\prime }=a_2{n}_2$. Odtud plyne, že

${a_1}^{\prime }{a_2}^{\prime }N=a_1{n}_1{a}_2{n}_{2}N=a_1{a}_2{n_1}^{\prime }{n}_{2}N=a_1{a}_{2}N,$

kde využíváme také fakt, že $N$ je normální podgrupa, a proto existuje ${n_1}^{\prime }\in N$ takové, že $n_1{a}_2=a_2{n_1}^{\prime }$. Tím je dokázáno, že tento součin je korektně definovaným zobrazení mezi levými třídami.

Množina levých tříd s touto operací je grupou, kterou nazýváme faktorová grupa a značíme $G/N.$ Existuje přirozená projekce $f:G\to G/N$ daná vztahem $f(a)=aN$. Tato projekce převádí $N$ na neutrální prvek grupy $G/N$, což je levá třída $eN=N$,Šablona:Sfn tj. $\ker (f)=N$.

Obecně, grupový homomorfismus $f:G\to H$ zobrazuje podgrupy grupy $G$ na podgrupy grupy $H$. Také vzor libovolné podgrupy grupy $H$ je podgrupou grupy $G$. Vzor triviální grupy $\{e\}$ v $H$ nazýváme jádrem homomorfismu a značíme $\ker f$. Lze ukázat, že jádro je vždy normální a obraz $f(G)$ grupy $G$ je vždy izomorfní s $G/\ker f$ (první věta o izomorfismu).Šablona:Sfn Tato korespondence je bijekcí mezi množinami všech faktorových grup $G/N$ grupy $G$, a množinou všech homomorfních obrazů grupy $G$ (až na izomorfismus).Šablona:Sfn Je také zřejmé, že jádrem faktorového zobrazení $f:G\to G/N$ je samotné $N$, takže normální podgrupy jsou právě jádry homomorfismů s definičním oborem $G$.Šablona:Sfn

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace elektronické monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

• Šablona:Citace monografie

Související články

• Ideál (teorie okruhů)
• Ideál pologrupy

Externí odkazy

• Šablona:MathWorld
• Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
• Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
• Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
• John Baez, What's a Normal Subgroup?