Kardinální číslo

V matematice se pojem kardinální číslo, někdy též kardinál, pojí s čísly používanými pro popis velikosti množin. Jelikož se matematika zabývá i nekonečnými objekty, kardinální čísla a mohutnosti množin popisují i nekonečné množiny.

Historie

Kardinální čísla byla popsána Georgem Cantorem, když se v letech 1874 až 1884 pokoušel postavit matematiku na pevnější základy a zavedl verzi teorie množin, která se dnes nazývá naivní.

Nejdříve zavedl kardinalitu jako nástroj pro porovnávání konečných množin. Například množiny {1,2,3} a {2,3,4} si nejsou rovny, ale mají stejnou kardinalitu.

Dále Cantor zavedl bijekci, pomocí které lze jednoduše definovat, že množiny mají stejnou kardinalitu, a to i pro nekonečné množiny, například přirozená čísla. Zavedl i pojem spočetná množina pro každou množinu, která má stejnou mohutnost jako množina přirozených čísel. Kardinál spočetných množin pojmenoval ${\mathrm{\aleph }}_0$ ("alef nula", alef je první písmeno hebrejské abecedy).

Cantora zajímalo, zda každá nekonečná množina je spočetná. Pomocí takzvané diagonální metody dokázal, že tomu tak není a popsal nový kardinál, mohutnost kontinua, dnes běžně značený c. Vyjadřuje mohutnost množiny reálných čísel. Ukázal, že existuje nejmenší nekonečné kardinální číslo (${\mathrm{\aleph }}_0$) a též že pro každé kardinální číslo existuje kardinální číslo, které je větší (${\mathrm{\aleph }}_1,{\mathrm{\aleph }}_2,{\mathrm{\aleph }}_3,\cdots$).

Později vyslovil tvrzení známé jako hypotéza kontinua. To říká, že c = ${\mathrm{\aleph }}_1$. Marné pokusy tuto hypotézu vyřešit dováděly Cantora k šílenství. Teprve později se po pečlivé axiomatizaci teorie množin ukázalo, že platnost hypotézy kontinua je nezávislá na standardních axiomech teorie množin, a proto nemůže být na jejich základě dokázána ani vyvrácena.

Definice

Ordinální číslo $\alpha$ nazveme kardinálním číslem (nebo kardinálem), pokud každé menší ordinální číslo $\beta <\alpha$ má i menší mohutnost (tj. $\alpha$ nelze vzájemně jednoznačně zobrazit na žádnou podmnožinu $\beta$). Označíme-li jako $Cn$ třídu všech kardinálních čísel a $On$ třídu všech ordinálních čísel, můžeme zapsat tuto definici ve tvaru: $\alpha \in Cn\iff (\mathrm{\forall }\beta )(\beta <\alpha ⟹\mathrm{\neg }(\beta \approx \alpha ))$

Kardinální čísla jsou obvykle značena písmeny ze středu řecké alfabety $\kappa ,\lambda ,\mu$, aby se odlišila od ordinálních čísel, pro která jsou používána písmena ze začátku alfabety: $\alpha ,\beta ,\gamma$

Vztah kardinálních čísel k mohutnosti

Kardinální čísla jsou vhodnými kandidáty k reprezentování jednotlivých tříd ekvivalence podle relace $\approx$ (viz článek mohutnost).
Je-li $x$ množina, kterou lze vzájemně jednoznačně zobrazit na kardinál $\lambda$, říkáme, že $\lambda$ je mohutnost množiny $x$ a píšeme $|x|=\lambda$.
Jednoznačné zobrazení mohutnosti všech množin na kardinály je závislé na axiomu výběru. Připouštíme-li axiom výběru, pak z principu dobrého uspořádání plyne, že každou množinu lze zobrazit na nějaký kardinál. V případě, že axiom výběru neplatí, však mohou existovat množiny, jejichž mohutnost nelze definovat výše uvedeným způsobem.

Vlastnosti a příklady kardinálních čísel

1. Přirozená čísla (tj. konečná ordinální čísla) jsou zároveň kardinálními čísly.
2. Množina $\omega$ všech přirozených čísel je první nekonečný kardinál a zároveň jediný nekonečný spočetný kardinál. Pokud existují nějaké další nekonečné kardinály, jsou již nespočetné. A ony existují:
3. Ke každému kardinálu existuje větší kardinál.
4. Třída $Cn$ všech kardinálů je vlastní třída izomorfní s třídou $On$ všech ordinálů – kardinály tedy lze očíslovat ordinálními čísly tak, aby žádný nechyběl a žádný nepřebýval.

Která konkrétní nekonečná ordinální čísla jsou tedy zároveň kardinály, když jich existuje tolik? Prvním z nich je, jak již víme, $\omega$. Pokusme se najít nějaký další:

• ordinální čísla $\omega +1,\omega +2,\omega +3,\dots$ jsou spočetná – nejsou to tedy kardinály, protože mají stejnou mohutnost, jako menší ordinál $\omega$
• ordinální čísla $\omega +\omega =\omega .2,\omega .3,\omega .4,\dots$ jsou stále spočetná
• ordinální čísla $\omega .\omega ={\omega }^2,{\omega }^3,{\omega }^4,\dots$ jsou stále spočetná
• ordinální čísla ${\omega }^{\omega },{\omega }^{{\omega }^{\omega }},{\omega }^{{\omega }^{{\omega }^{\omega }}},\dots$ jsou stále spočetná
• dokonce i supremum předchozí posloupnosti (označované někdy jako ${ϵ}_0$) je stále spočetné

Jak je vidět, za $\omega$ následuje ve třídě ordinálních čísel veliké hluché místo, ve kterém není žádný kardinál – pokud se budeme snažit postupovat třídou ordinálních čísel nahoru pomocí operací ordinální aritmetiky jako v předchozím příkladu, zůstávají další kardinály kdesi daleko za obzorem.

Funkce alef

Obdobné tvrzení, jako číslo 4 v odstavci Vlastnosti a příklady kardinálních čísel, platí i pro třídu všech nekonečných kardinálů $Cn-\omega$ – také existuje izomorfismus mezi ní a $On$.
Tato izomorfní funkce je obvykle nazývána prvním písmenem hebrejské abecedy – alef, a značena $\mathrm{\aleph }$.

• ${\mathrm{\aleph }}_0=\omega$ je nejmenší nekonečný kardinál – množina přirozených čísel
• ${\mathrm{\aleph }}_1$ je nejmenší nespočetný kardinál
• pro každý ordinál $\alpha$ existuje kardinál ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$, má tedy dobrý smysl ptát se, jak asi vypadají kardinály ${\mathrm{\aleph }}_2,{\mathrm{\aleph }}_3,{\mathrm{\aleph }}_{\omega },{\mathrm{\aleph }}_{{\omega }^{\omega }+\omega .5+127}$

Dá se ukázat, že funkce $\mathrm{\aleph }$ je normální funkce (tj. rostoucí a spojitá pro limitní ordinály) na ordinálních číslech. Lze dokázat, že každá taková funkce má ve třídě $On$ nekonečně mnoho pevných bodů (tyto pevné body dokonce tvoří vlastní třídu izomorfní s $On$.

Aplikováno konkrétně na funkci $\mathrm{\aleph }$: existuje obrovské (ve smyslu „hodně, ale opravdu hodně nekonečné“) množství ordinálů $\alpha$, pro které platí, že $\alpha ={\mathrm{\aleph }}_{\alpha }$.

Pokud si toto dáme dohromady s výsledkem našeho hledání ${\mathrm{\aleph }}_1$ v předchozím oddílu, vidíme, že funkce $\mathrm{\aleph }$ má opravdu podivné vlastnosti:

• na jedné straně hrozně rychle roste (už její druhá hodnota – ${\mathrm{\aleph }}_1$ je hodně daleko od její první hodnoty ${\mathrm{\aleph }}_0$)
• na druhé straně asi někde musí hodně přibrzdit, protože existují místa (libovolně velké ordinály), kde úplně ztratí náskok před „nejpomaleji rostoucí“ identickou funkcí $Id:Id(\alpha )=\alpha$ – v takovýchto pevných bodech platí ${\mathrm{\aleph }}_{\alpha }=Id(\alpha )=\alpha$

Kardinální aritmetika

Na třídě kardinálních čísel lze definovat stejně jako na třídě ordinálních čísel běžné aritmetické operace součtu, součinu a mocniny – rozdíl spočívá v tom, že zatímco u ordinálních operací hovoříme o „typu dobrého uspořádání“ výsledné množiny, u kardinálních operací nás zajímá mohutnost výsledné množiny. Vlastnostmi těchto operací se zabývá samostatný článek kardinální aritmetika

Související články

• Kardinální aritmetika
• Ordinální číslo
• Ordinální aritmetika
• Mohutnost
• Singulární kardinál
• Regulární kardinál
• Kofinál
• Hypotéza kontinua
• Zobecněná hypotéza kontinua
• Hypotéza singulárních kardinálů

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat