Jednotková matice

V lineární algebře označuje pojem jednotková matice řádu $n$ čtvercovou matici $n\times n$, která má na hlavní diagonále jedničky a na ostatních místech nuly. Jednotková matice řádu $n$ se značí ${𝐈}_n$ nebo ${𝐄}_n$. Index je možné vynechat a psát jen $𝐈$ nebo $𝐄$, je-li velikost nepodstatná nebo lze-li ji odvodit z kontextu.${𝐈}_1={𝐄}_1=\left(\begin{array}{c}1\end{array}\right),{𝐈}_2={𝐄}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right),{𝐈}_3={𝐄}_3=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right),\cdots ,{𝐈}_n={𝐄}_n=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& \cdots & 0\\ 0& 1& \ddots & ⋮\\ ⋮& \ddots & \ddots & 0\\ 0& \cdots & 0& 1\end{array}\right)$

Vlastnosti

Jednotková matice je neutrálním prvkem vzhledem k součinu matic, tj. platí $𝑨𝐈=𝑨$ a $𝐈𝑨=𝑨$, kdykoli je příslušný součin matic definován.

Jednotková matice je regulární, protože je inverzní sama k sobě. Zároveň je symetrická i ortogonální. Nemění se umocňováním. Její odmocnina (tj. matice $𝑨$ splňující ${𝑨}^2=𝐈$) není jednoznačná. Odmocninou může být opět jednotková matice, ovšem existují také odmocniny nediagonální, např.$\left(\begin{array}{cc}4/5& 3/5\\ 3/5& -4/5\end{array}\right)$ i nesymetrické.

Jednotková matice je speciálním případem diagonální matice.

Poznámky ke značení

Symbol $𝐈$ pochází z angl. Šablona:Lang, doslova matice identity, coby identického zobrazení $\mathrm{i}\mathrm{d}$.

Naopak symbol $𝐄$ má patrně původ v něm. Šablona:Lang , což také souvisí s obvyklým značením neutrálního prvku v grupě symbolem $e$. Sloupce jednotkové matice tvoří vektory standardní báze, které bývají často označovány ${𝐞}_1,\dots ,{𝐞}_n$.

Řídce bývají používány symboly $𝐔$ a $1$ a jejich typografické varianty.

Coby dobře definovanou matematickou konstantu je možné vídat symbol jednotkové matice psán neskloněným písmem (antikvou), tedy $𝐈$, resp. $𝐄$, pro odlišení od skloněných symbolů užívaných pro proměnné matice $𝑨$.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie

• Šablona:Citace monografie

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

• Šablona:Citace elektronické monografie