Neutrální prvek

V algebře je neutrální prvek e množiny A s binární operací $\otimes$ takový prvek, pro nějž platí, že výsledkem operace neutrálního prvku a libovolného x ∈ A je x.

V případě, že se pro operaci používá multiplikativní značení, např. $\cdot$, je e často nazýván jednotkovým prvkem $(1\cdot x=x)$. V případě použití aditivního značení, např. $+$, je e často nazýván nulovým prvkem $(0+x=x)$. Pro neutrální prvek se někdy také používá výraz identita.

Formální definice

Buď $A$ množina a $\otimes$ operace na $A$.

• Prvek $e\in A$ se nazývá levý neutrální, právě když $\mathrm{\forall }x\in A:e\otimes x=x$.
• Prvek $e\in A$ se nazývá pravý neutrální, právě když $\mathrm{\forall }x\in A:x\otimes e=x$.
• Prvek $e\in A$ se nazývá neutrální, právě když $\mathrm{\forall }x\in A:x\otimes e=e\otimes x=x$.

Příklady

• Pokud $(A,\otimes )$ jsou reálná čísla se sčítáním, je číslo 0 neutrálním prvkem.
• Pokud $(A,\otimes )$ jsou reálná čísla s násobením, je neutrálním prvkem číslo 1.
• Pokud $(A,\otimes )$ jsou n-rozměrné čtvercové matice se sčítáním, neutrálním prvkem je nulová matice.
• Pokud $(A,\otimes )$ jsou n-rozměrné matice s násobením, je neutrálním prvkem jednotková matice.
• Pokud $(A,\otimes )$ je množina všech zobrazení z množiny $M$ do sebe sama a $\otimes$ je skládání funkcí, je neutrálním prvem funkce identita definovaná $\mathrm{\forall }x\in M:id(x)=x$.
• Pokud má $A$ pouze dva prvky $e$ a $f$ a operace $\otimes$ je definována tak, že $e\otimes e=f\otimes e=e$ a $f\otimes f=e\otimes f=f$, jsou oba prvky $e$ a $f$ levými neutrálními, ale neexistuje žádný pravý neutrální prvek.

Jak ukazuje poslední příklad, $(A,\otimes )$ může mít několik levých neutrálních prvků, dokonce může platit, že každý prvek množiny $A$ je levým neutrálním. Stejně tak to platí pro pravé neutrální prvky. Pokud jsou ale v množině $A$ levé i pravé neutrální prvky, platí, že jsou si rovny a je tam tudíž právě jeden takový.

Odkazy

Související články

• inverzní prvek
• grupa
• monoid
• idempotence