Věta o homomorfismu

Věta o homomorfismu, někdy také nazývaná první věta o izomorfismu, je v teorii grup a v abstraktní algebře věta, která ukazuje souvislost struktury dvou objektů, mezi kterými existuje homomorfismus, a jádrem a obrazem homomorfismu.

Věta o homomorfismu se používá pro matematický důkaz vět o izomorfismu.

Verze pro grupy

Znázornění věty o homomorfismu, kde f je homomorfismus, N je normální podgrupa grupy G a e je neutrální prvek grupy G.

Jsou dány dvě grupy G a H a grupový homomorfismus Šablona:Nowrap. Nechť N je normální podgrupa v G a φ přirozený surjektivní homomorfismus Šablona:Nowrap (kde Šablona:Nowrap je faktorová grupa grupy G podle N). Pokud N je podmnožina jádra ker(f), pak existuje jediný homomorfismus Šablona:Nowrap takový, že Šablona:Nowrap.Šablona:Sfn

Jinými slovy přirozená projekce φ je univerzální mezi homomorfismy na G, které zobrazují N na neutrální prvek.

Situace je popsaná následujícím komutativním diagramem:

h je injektivní právě tehdy, když Šablona:Nowrap. Pokud tedy položíme Šablona:Nowrap, okamžitě dostáváme první větu o izomorfismu.

Větu o homomorfismu grup lze stručně formulovat takto: „Každý homomorfní obraz grupy je izomorfní s faktorovou grupou“.

Důkaz

Důkaz vyplývá ze dvou základních faktů o homomorfismech, jmenovitě o zachování grupové operace, a zobrazení neutrálního prvku na neutrální prvek. Potřebujeme ukázat, že pokud $\varphi :G\to H$ je homomorfismus grup, pak:

1. $\text{im}(\varphi )$ je podgrupa grupy $H$.
2. $G/\ker (\varphi )$ je izomorfní s $\text{im}(\varphi )$.

Důkaz bodu 1

Operace, kterou $\varphi$ zachovává, je grupová operace. Pokud $a,b\in \text{im}(\varphi )$, pak existují prvky $a^{\prime },b^{\prime }\in G$ takové, že $\varphi (a^{\prime })=a$ a $\varphi (b^{\prime })=b$. Pro tyto $a$ a $b$, máme $ab=\varphi (a^{\prime })\varphi (b^{\prime })=\varphi (a^{\prime }{b}^{\prime })\in \text{im}(\varphi )$ (protože $\varphi$ zachovává grupové operace), a tedy, uzávěrová vlastnost je splněna v $\text{im}(\varphi )$. Neutrální prvek $e\in H$ je také v $\text{im}(\varphi )$, protože $\varphi$ převádí neutrální prvek grupy $G$ to to. Protože ke každému prvku $a^{\prime }$ v $G$ má inverzní $(a^{\prime }{)}^{-1}$ takový, že $\varphi ((a^{\prime }{)}^{-1})=(\varphi (a^{\prime }){)}^{-1}$ (protože $\varphi$ zachovává inverzní vlastnost také), máme inverzní pro každý prvek $\varphi (a^{\prime })=a$ v $\text{im}(\varphi )$, proto, $\text{im}(\varphi )$ je podgrupa grupy $H$.

Důkaz bodu 2

Zkonstruujeme zobrazení $\psi :G/\ker (\varphi )\to \text{im}(\varphi )$ by $\psi (a\ker (\varphi ))=\varphi (a)$. Toto zobrazení je definované korektně, protože pokud $a\ker (\varphi )=b\ker (\varphi )$, pak $b^{-1}a\in \ker (\varphi )$ a tedy $\varphi (b^{-1}a)=e\Rightarrow \varphi (b^{-1})\varphi (a)=e$ což dává $\varphi (a)=\varphi (b)$. Toto zobrazení je izomorfismus. Z definice je vidět, že $\psi$ je surjektivní na $\text{im}(\varphi )$. Pro důkaz injektivity je třeba si uvědomit, že pokud $\psi (a\ker (\varphi ))=\psi (b\ker (\varphi ))$, pak $\varphi (a)=\varphi (b)$, což implikuje $b^{-1}a\in \ker (\varphi ),$ takže $a\ker (\varphi )=b\ker (\varphi )$. Nakonec

$\psi ((a\ker (\varphi ))(b\ker (\varphi )))=\psi (ab\ker (\varphi ))=\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)=\psi (a\ker (\varphi ))\psi (b\ker (\varphi )),$

tedy $\psi$ zachovává grupové operace. Tedy $\psi$ je izomorfismus mezi $G/\ker (\varphi )$ a $\text{im}(\varphi )$, což uzavírá důkaz.

Aplikace

Grupově-teoretickou verzi věty o homomorfismu lze použít pro důkaz, že určité dvě grupy jsou izomorfní. Dva příklady jsou uvedené níže.

Celá čísla modulo n

Pro každý $n\in \mathbb{N}$, uvažujme grupy $\mathbb{Z}$ a ${\mathbb{Z}}_n$ a grupový homomorfismus $f:\mathbb{Z}\to {\mathbb{Z}}_n$ definovaný vztahem $m\mapsto m\text{ mod }n$ (viz Modulární aritmetika). Dále uvažujme jádro homomorfismu $f$, $\text{ker}(f)=n\mathbb{Z}$, které je normální podgrupou v $\mathbb{Z}$. Existuje přirozený surjektivní homomorfismus $\phi :\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ definovaný vztahem $m\mapsto m+n\mathbb{Z}$. Věta tvrdí, že existuje izomorfismus $h$ mezi ${\mathbb{Z}}_n$ a $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ nebo jinými slovy ${\mathbb{Z}}_n\cong \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$. Situace je znázorněna následujícím komutativním diagramem:

N/C věta

Nechť $G$ je grupa s podgrupou $H$. Nechť $C_G(H)$, $N_G(H)$ a $\text{Aut}(H)$ je po řadě centralizátor, normalizátor a grupa automorfismů grupy $H$ v $G$. Potom věta N/C říká, že $N_G(H)/C_G(H)$ je izomorfní s podgrupou $\text{Aut}(H)$.

Důkaz

Jsme schopni najít grupový homomorfismus $f:N_G(H)\to \text{Aut}(H)$ definovaný vztahem $g\mapsto gh{g}^{-1}$, pro všechna $h\in H$. Jádro homomorfismu $f$ je zřejmě $C_G(H)$. Máme tedy přirozený surjektivní homomorfismus $\phi :N_G(H)\to N_G(H)/C_G(H)$ definovaný vztahem $g\mapsto gC(H)$. Věta o homomorfismu pak tvrdí, že existuje izomorfismus mezi $N_G(H)/C_G(H)$ a $\phi (N_G(H))$, který je podgrupou grupy $\text{Aut}(H)$.

Jiné verze

Podobné věty platí pro monoidy, vektorové prostory, moduly a okruhy.Šablona:Sfn

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace elektronické monografie

Související články

• Faktorová kategorie