Curieův zákon

Curieův zákon je pravidlo platící u řady paramagnetických látek, které říká, že magnetizace je při dostatečně vysoké teplotě a dostatečně slabých polích přímo úměrná intenzitě magnetického pole; při zahřívání tento vztah přestává platit. Je-li intenzita pole stálá, pak je magnetická susceptibilita nepřímo úměrná teplotě:

$M=\chi H,\chi =\frac{C}{T},$

kde

$\chi >0$ je (objemová) magnetická susceptibilita,

$M$ je vytvořená magnetizace (A/m),

$H$ je intenzita magnetického pole (A/m),

$T$ je teplota (K),

$C$ je Curiova konstanta, specifická pro daný materiál (K).

Pierre Curie objevil toto pravidlo při zpracování dat z pokusu a platí jen při vysokých teplotách a slabých polích. Maximální magnetizace nastává za nízkých teplot a silných polí. Pokud je Curieova konstanta nulová, tak převažují jiné magnetické jevy, například Langevinův diamagnetismus nebo Van Vleckův paramagnetismus.

Odvození z kvantové mechaniky

Magnetizace paramagnetu jako funkce převrácené hodnoty teploty

Každá částice paramagnetu má magnetický moment $\overrightarrow{\mu }$. Energie magnetického momentu v magnetickém poli je:

$E=-\mathit{\mu }\cdot 𝐁,$

kde $𝐁={\mu }_0(𝐇+𝐌)$ je hustota magnetického pole v jednotkách tesla (T).

Dvoustavové částice (se spinem -1/2)

Pro zjednodušení výpočtu se uvažují dvoustavové částice, které mohou mít směr magnetického momentu ve srovnání s magnetickým polem souhlasný nebo opačný a jediné možné hodnoty magnetického momentu tak jsou $\mu$ a $-\mu$. V takovém případě má částice jen dvě možné energie, $-\mu B$ při uspořádání ve směru magnetického pole, a $+\mu B$ při opačném uspořádání.

Gibbsova volná energie je:

$G=-\frac{1}{\beta }\log Z=-N{k}_{\mathrm{B}}T\log Z_1.$

Magnetizace je zápornou derivací volné energie vůči uvažovanému poli, a magnetizace na jednotkový objem tak činí

$M=n\mu \tanh \frac{\mu B}{k_{\mathrm{B}}T},$

kde n je hustota počtu magnetických momentů.

Výše uvedený vztah se nazývá Langevinova paramagnetická rovnice. Pierre Curie vytvořil aproximaci tohoto pravidla pro vysoké teploty a slabá pole, která používal při svých pokusech. S růstem teploty a poklesem intenzity pole se parametr vyjádřený hyperbolickým tangentem snižuje. Za takových podmínek platí:

$\frac{\mu B}{k_{\mathrm{B}}T}\ll 1$

Pokud $|x|\ll 1$, tak

$\tanh x\approx x,$

magnetizace je tedy malá, a lze tedy použít vzorec $B\approx {\mu }_{0}H$, z čehož vyplývá:

$M\approx \frac{{\mu }_0{\mu }^{2}n}{k_{\mathrm{B}}}\frac{H}{T}.$

Za těchto podmínek je magnetická susceptibilita:

$\chi =\frac{\partial M}{\partial H}\approx \frac{M}{H}$

což dává:

$\chi (T\to \mathrm{\infty })=\frac{C}{T},$

kde $C={\mu }_{0}n{\mu }^2/k_{\mathrm{B}}$, v kelvinech (K), je Curieova konstanta.

Zobecnění

Jestliže mají částice libovolný spin, tak je vzorec složitější. Ve slabých magnetických polích nebo za vysokých teplot odpovídá spin Curieovu zákonu:

$C=\frac{{\mu }_0{\mu }_{\text{B}}^2}{3k_{\mathrm{B}}}n{g}^{2}J(J+1),$

kde $J$ je celkové kvantové číslo úhlového momentu hybnosti, a $g$ faktor g (takový, že $\mu =gJ{\mu }_{\text{B}}$ je magnetický moment). V dvouúrovňové soustavě s magnetickým momentem $\mu$ se vzorec zjednoduší do výše uvedené podoby

$$C=\frac{1}{k_{\mathrm{B}}}n{\mu }_0{\mu }^2,$$

Když se spin blíží nekonečnu, tak magnetizace dosahuje klasické hodnoty odvozené v následujícím oddílu.

Odvození z klasické statistické mechaniky

Paramagnety si také lze představit jako klasické, volně rotující, magnetické momenty. V takovém případě je jejich polohový vektor určen úhly ve sférických souřadnicích a energie jednotlivého momentu potom bude:

$E=-\mu B\cos \theta ,$

kde $\theta$ je úhel mezi magnetickým momentem a magnetickým polem. Odpovídající rozdělovací funkce je:

$Z=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta \exp (\mu B\beta \cos \theta ).$

Výsledek nezávisí na úhlu $\varphi$, a tak lze proměnné upravit na $y=\cos \theta$ za vzniku:

$Z=2\pi \underset{-1}{\overset{1}{\int }}dy\exp (\mu B\beta y)=2\pi \frac{\exp (\mu B\beta )-\exp (-\mu B\beta )}{\mu B\beta }=\frac{4\pi \sinh (\mu B\beta )}{\mu B\beta }$

Nyní je očekávaná hodnota $z$ složky magnetizace (zbylé dvě jsou v důsledku integrace podle $\varphi$ nulové):

$⟨{\mu }_z⟩=\frac{1}{Z}\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}d\varphi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}d\theta \sin \theta \exp (\mu B\beta \cos \theta )[\mu \cos \theta ].$

Pro zjednodušení výpočtu lze tento výsledek zapsat jako diferenciaci $Z$:

$⟨{\mu }_z⟩=\frac{1}{Z\beta }\frac{\partial Z}{\partial B}=\frac{1}{\beta }\frac{\partial \ln Z}{\partial B}$

Odstraněním derivace vznikne:

$M=n⟨{\mu }_z⟩=n\mu L(\mu B\beta ),$

kde $L$ je Langevinova funkce:

$L(x)=\coth x-\frac{1}{x}$

Tato funkce vypadá pro malá $x$ jako singulární, ovšem není, protože dvě singulární proměnné se navzájem vyruší. Chování této funkce pro malé argumenty lze popsat jako:

$L(x)\approx x/3$, takže se také uplatní Curieova limita, ale s třikrát menší Curieovou konstantou. Podobně se funkce na $1$ pro velké argumenty nasycuje, a tak se obnovuje opačná limita.

Historie

Pierre Curie v roce 1895 zpozoroval, že magnetická susceptibilita kyslíku je nepřímo úměrná jeho teplotě. Paul Langevin o deset let později představil klasické odvození tohoto vztahu.

Odkazy

Související články

• Curieův–Weissův zákon