Pravá anomálie

Pravá anomálie bodu P je úhel f. C je střed elipsy, F je ohnisko.

Pravá anomálie je v nebeské mechanice úhlový parametr určující pozici tělesa, které se pohybuje po keplerovské dráze. Je to úhel mezi směrem periapsidy a okamžitou pozicí tělesa, měřený z hlavního ohniska elipsy (tj. bodu, okolo kterého těleso obíhá).

Pravá anomálie se obvykle značí řeckým písmenem Šablona:Mvar (ný), Šablona:Mvar (theta) nebo latinským písmenem Šablona:Mvar, a obvykle se uvádí v intervalu 0–360° (0–2π rad).

Pravá anomálie Šablona:Mvar je jedním ze tří úhlových parametrů (anomálií), kterými lze definovat pozici tělesa na oběžné dráze; dalšími je excentrická anomálie E a střední anomálie M.

Vzorce

Ze stavových vektorů

Pro eliptické oběžné dráhy lze pravou anomálii Šablona:Mvar vypočítat z orbitálního stavového vektoru pomocí vzorce:

$\nu =\arccos \frac{𝐞\cdot 𝐫}{\left|e\right|\left|r\right|}$

(je-li Šablona:Nowrap, použijeme Šablona:Nowrap místo Šablona:Mvar)

kde:

• v je vektor rychlosti obíhajícího tělesa,
• e je vektor výstřednosti,
• r je polohový vektor (úsečka FP na obrázku) obíhajícího tělesa.

Kruhová oběžná dráha

Pro kruhové oběžné dráhy není pravá anomálie definovaná, protože u kruhové dráhy nelze určit periapsidu. Místo pravé anomálie se používá argument šířky u:

$u=\arccos \frac{𝐧\cdot 𝐫}{\left|n\right|\left|r\right|}$

(je-li Šablona:Nowrap, použijeme Šablona:Nowrap místo Šablona:Nowrap)

kde:

• n je vektor ukazující směrem k vzestupnému uzlu (jeho z-ová složka je nulová).
• r_z je z-ová složka polohového vektoru r

Kruhová oběžná dráha s nulovým sklonem

Pokud má kruhová oběžná dráha nulový sklon, není definován ani argument šířky, protože nelze určit ani polohu uzlů dráhy. Místo toho používáme pravou délku:

$l=\arccos \frac{r_x}{\left|r\right|}$

(pro Šablona:Nowrap je třeba místo Šablona:Mvar použít Šablona:Nowrap)

kde:

• r_x je x-ová složka polohového vektoru r
• v_x je x-ová složka vektoru rychlosti v.

Z excentrické anomálie

Vztah mezi pravou anomálií Šablona:Mvar a excentrickou anomálií $E$ je:

$\cos \nu =\frac{\cos E-e}{1-e\cos E}$

nebo pomocí sinu a tečny:

$\begin{array}{cc}\sin \nu & =\frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{1-e\cos E}\\ \mathrm{tg}\nu =\frac{\sin \nu }{\cos \nu }& =\frac{\sqrt{1-e^2}\sin E}{\cos E-e}\end{array}$

nebo ekvivalentně:

$\mathrm{tg}\frac{\nu }{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\mathrm{tg}\frac{E}{2}$

tedy

$\nu =2\arctan (\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\mathrm{tg}\frac{E}{2})$

Broucke a Cefola uvádějí alternativní tvar této rovnice, který se vyhýbá numerickým problémům pro argumenty blízko $\pm \pi$, kdy obě tangenty rostou nade všechny meze. Díky tomu, že $\frac{E}{2}$ a $\frac{\nu }{2}$ jsou vždy ve stejném kvadrantu, nebudou žádné problémy se znaménky.

$\mathrm{tg}\frac{1}{2}(\nu -E)=\frac{\beta \sin E}{1-\beta \cos E}$ kde $\beta =\frac{e}{1+\sqrt{1-e^2}}$

tedy

$\nu =E+2\arctan \left(\frac{\beta \sin E}{1-\beta \cos E}\right)$

Ze střední anomálie

Pravou anomálii lze spočítat přímo ze střední anomálie $M$ Fourierovým rozvojem:

$\nu =M+2\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{k}[\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{J}_n(-ke){\beta }^{|k+n|}]\sin kM$

kde $J_n$ jsou Besselovy funkce a parametr $\beta =\frac{1-\sqrt{1-e^2}}{e}$.

Zanedbáním všech členů od řádu $e^4$ (což je indikováno členem $𝒪\left(e^4\right)$), lze zapsat jako

$\nu =M+(2e-\frac{1}{4}{e}^3)\sin M+\frac{5}{4}{e}^2\sin 2M+\frac{13}{12}{e}^3\sin 3M+𝒪\left(e^4\right).$

Tato aproximace se kvůli přesnosti obvykle používá pouze pro oběžné dráhy s malou výstředností $e$.

Výraz $\nu -M$ je znám jako rovnice středu, které je věnován samostatný článek s více detaily.

Poloměr z pravé anomálie

Poloměr (vzdálenost mezi ohniskem přitažlivosti a obíhajícím tělesem) je spojený s pravou anomálií vztahem

$r=a\frac{1-e^2}{1+e\cos \nu }$

kde a je velká poloosa oběžné dráhy.

Odkazy

Literatura

• Šablona:Citace monografie
• Šablona:Citace monografie

Související články

• Keplerovy zákony
• Excentrická anomálie
• Střední anomálie
• Elipsa
• Hyperbola

Externí odkazy

• Federal Aviation Administration - Describing Orbits