Harmonické číslo

Harmonické číslo je pojem z oboru teorie čísel. Za harmonická čísla jsou označována čísla, která odpovídají částečným součtům harmonické řady, tedy n-té harmonické číslo odpovídá součtu převrácených hodnot prvních n přirozených čísel:

H_{n} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n - 1} + \frac{1}{n} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{i}

.

Vlastnosti

N-té harmonické číslo je převrácenou hodnotu harmonického průměru prvních n přirozených čísel vynásobenou n.
Platí $\lim_{n \to \infty} H_{n} - \ln (n) = γ$ kde $γ$ je Eulerova konstanta.

\sum_{n = 1}^{\infty} z^{n} H_{n} = \frac{- \ln (1 - z)}{1 - z}