Množinová algebra

Množinová algebra definuje vlastnosti a zákony množinově teoretických operací sjednocení, průniku a doplňku a množinových relací rovnosti a inkluze. Poskytuje také systematické postupy pro vyhodnocování výrazů a provádění výpočtů obsahujících tyto operace a relace.

Jakýkoli systém množin uzavřený vůči množinovým operacím vytváří Booleovu algebru, ve které je sjednocení operací spojení, průnik je operací průseku, množinový doplněk je operací doplňku, nejmenší prvek je prázdná množina $\varnothing$ a největší prvek je univerzální množina.

Základy

Množinová algebra je množinově teoretická analogie číselné algebry. Množinové sjednocení a průnik jsou asociativní a komutativní stejně jako aritmetické operace sčítání a násobení; množinová relace „je podmnožinou“ je reflexivní, antisymetrická a tranzitivní stejně jako aritmetická relace „menší nebo rovno“.

Jde o algebru množinově teoretických operací sjednocení, průniku a doplňku a relací rovnosti a inkluze. Základní informace o teorii množin jsou ve článcích množina, teorie množin, naivní teorie množin a axiomatická teorie množin.

Základní zákony množinové algebry

Množinové binární operace sjednocení ($\cup$) a průnik ($\cap$) vyhovují mnoha identitám. Několik těchto identit nebo „zákonů“ je pojmenovaných.

Zákony komutativity:

• $A\cup B=B\cup A$
• $A\cap B=B\cap A$

Zákony asociativity:

• $(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)$
• $(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)$

Zákony distributivity:

• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$

Sjednocení a průnik množin můžeme považovat za operace analogické sčítání a násobení čísel. Stejně jako sčítání a násobení, operace sjednocení a průnik jsou komutativní a asociativní a průnik je distributivní vůči sjednocení. Na rozdíl od sčítání a násobení je také sjednocení distributivní vůči průniku.

Další dvojice zákonů definuje speciální množiny nazývané prázdná množina Ø a univerzální množina (univerzum) $U$; spolu s doplněk operátor ($A^C$ označuje doplněk $A$. Tento může také být napsaný jako $A^{\text{'}}$, čteme s čarou). Prázdná množina nemá žádné prvky a univerzální množina má všechny možné prvky (v určitém kontextu).

Zákony identity:

• $A\cup \varnothing =A$
• $A\cap U=A$

Zákony doplňku:

• $A\cup A^C=U$
• $A\cap A^C=\varnothing$

Zákony identity (spolu s komutativními zákony) říkají že stejně jako čísla 0 a 1 jsou neutrálními prvky pro sčítání a násobení, jsou Ø a U neutrálními prvky pro sjednocení, resp. průnik.

Operace sjednocení a průnik nemají na rozdíl sčítání a násobení inverzní prvky. Zákony doplňku však poskytují základní vlastnosti unární operace, která se chová jako obdoba k množinovému doplňku.

Výše uvedených pět dvojic zákonů – komutativní, asociativní, distributivní, zákony identity a doplňku – obsahuje kompletní seznam axiomů množinové algebra, v tom smyslu, že každé pravdivé tvrzení v množinové algebře z nich může být odvozeno.

Odkazy

Literatura

• Stoll, Robert R.; Set Theory and Logic, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) Šablona:ISBN. "The Algebra of Sets", pp 16—23.
• Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. Šablona:ISBN. "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS".

Související články

• σ-algebra je algebra množin, uzavřená vůči spočetným nekonečným operacím.
• Axiomatická teorie množin
• Systém množin
• Naivní teorie množin
• Množina
• Topologický prostor – podmnožina $\mathrm{\wp }(X)$ (potenční množiny množiny $X$), uzavřená vůči libovolným sjednocením a konečným průnikům a obsahující $\mathrm{\varnothing }$ a $X$.

Externí odkazy

• Operations on Sets at ProvenMath