Numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic

V numerické matematice je numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic postup, kterým můžeme získat přibližné řešení obyčejných diferenciálních rovnic. Používá se v případech, kdy by bylo nalezení přesného (analytického) řešení náročné nebo v případech, kdy analytické řešení nelze najít.

Diferenciální rovnice a její počáteční podmínky bývají často uváděny v tomto tvaru:

$y^{\prime }(t)=f(t,y)$

$y(t_0)=y_0$

Metody řešení

Funkce f(t,y) (někdy se nazývá stavová rovnice) může být obecně velmi komplikovaná, proto je nutné řešit rovnici numericky. V takovém případě probíhá řešení v diskrétních časových krocích $\mathrm{\Delta }t$:

$y(t+\mathrm{\Delta }t)=y(t)+D(t,y)\mathrm{\Delta }t$

$D(t,y)$ je funkce (někdy též směrová funkce), která se snaží aproximovat $y^{\prime }(t)$ tak, aby $y(t+\mathrm{\Delta }t)$ bylo co nejpřesnější.

Eulerova metoda

Existuje více metod, jak v daném čase získat co nejlepší aproximaci derivace, nejjednodušší je Eulerova metoda:

$D(t,y)=f(t,y)$

Rungeovy–Kuttovy metody

Obecně lze Rungeovy–Kuttovy metody zapsat následovně:

$y_{n+1}=y_n+h\sum _{i=1}^p{w}_i{k}_i$

$k_i=f(t+{\alpha }_{i}h,y_n+h\sum _{j=1}^{i-1}{\beta }_{ij}{k}_j)$

Koeficienty u těchto metod jsou vypočteny tak, aby metoda řádu $p$ odpovídala Taylorovu polynomu funkce $y(t)$ stejného řádu. (Eulerova metoda je vlastně metodou prvního řádu.)

Často se používá čtyřbodová metoda Runge-Kutta (RK4), která je čtvrtého řádu.

$k_1=f(t_n,y_n)$

$k_2=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_1)$

$k_3=f(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{h}{2}{k}_2)$

$k_4=f(t_n+h,y_n+h{k}_3)$

$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4)$

(Korespondence různých způsobů zápisu: $h=\mathrm{\Delta }t$; $t_n=n\mathrm{\Delta }t$; $y_n=y(t_n)$; $D(t,y)=(k_1+2k_2+2k_3+k_4)/6$. Korespondence s obecným vzorcem: $k_1=k_4=1/6$; $k_2=k_3=1/3$; ${\alpha }_1={\beta }_{31}={\beta }_{41}={\beta }_{42}=0$; ${\alpha }_2={\alpha }_3={\beta }_{21}={\beta }_{32}=1/2$; ${\alpha }_4={\beta }_{43}=1$.)

Vícekrokové metody

U vícekrokových metod je hodnota $y_{n+1}$ vypočtena z předchozích hodnot $y_{n-i}$ (respektive $f_{n-i}$, $i=0...k$) proložených interpolačním polynomem. Řád metody zde odpovídá řádu interpolačního polynomu. (Eulerova metoda je v podstatě jednokrokovou metodou.)

Obecnou vícekrokovou metodu lze zapsat následovně:

$y_{n+1}=\sum _{i=0}^r{\alpha }_i{y}_{n-i}+h\sum _{j=-1}^s{\beta }_j{f}_{n-j}$

Explicitní metody

Pokud je ${\beta }_{-1}=0$, lze hodnotu $y_{n+1}$ určit z $r+1$ předchozích hodnot $y_n$ (respektive z $s+1$ předchozích hodnot $f_n$) a jedná se o metodu explicitní.

Příklad 1, explicitní metoda Adams-Bashford druhého řádu:

$y_{n+1}=y_n+h(\frac{3}{2}f(t_n,y_n)-\frac{1}{2}f(t_{n-1},y_{n-1}))$

(Korespondence s obecným vzorcem: $r=0$; ${\alpha }_0=1$; $s=1$; ${\beta }_{-1}=0$; ${\beta }_0=3/2$; ${\beta }_1=-1/2$.)

Příklad 2, explicitní metoda Adams-Bashford čtvrtého řádu:

$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{24}(55f_n-59f_{n-1}+37f_{n-2}-9f_{n-3})$

Implicitní metody

Pokud je ${\beta }_{-1}$ různé od nuly, je pro výpočet $y_{n+1}$ nutná znalost $f_{n+1}$ a jedná se o metodu implicitní.

Příklad, implicitní metoda Adams-Moulton čtvrtého řádu:

$y_{n+1}=y_n+\frac{h}{24}(9f_{n+1}+19f_n-5f_{n-1}+f_{n-2})$

Metody prediktor-korektor

Metody prediktor-korektor jsou sloučením explicitních a implicitních metod. Nejprve je použita explicitní metoda pro odhad nového $y_{n+1}$. V tomto bodě je vypočtena derivace $f_{n+1}$, která je následovně použita v implicitní metodě pro výpočet přesnější aproximace $y_{n+1}$.

Související články

• Konvergence numerické metody
• Stabilita numerické metody
• Numerické řešení soustav lineárních rovnic