Rungeova–Kuttova metoda

Porovnání přibližných řešení pomocí různých verzí Rugeovy-Kuttovy metody

Rungeova–Kuttova metoda je metoda pro numerické řešení obyčejných diferenciálních rovnic, kterou kolem roku 1900 vytvořili němečtí matematici Carl Runge a Wilhelm Kutta, případně některá z podobných metod (společně jsou zvané Rungeovy–Kuttovy metody).

Rungeova–Kuttova metoda hledá přibližné řešení rovnice $\dot{y}=f(t,y)$ s okrajovou podmínkou $y(t_0)=y_0.$ Přitom $y=y(t)$ je neznámá skalární nebo vektorová funkce času $t$, kterou chceme aproximovat. Známe funkci $f$, propojující časovou derivaci $\dot{y}$ s hodnotou $y$ a časem $t,$ a známe také počáteční čas $t_0$ a odpovídající hodnotu $y$ v tomto čase, která je $y_0$.

K odhadu $y$ klasickou Rungeovou–Kuttovou metodou (též označovanou RK4) je nejprve potřeba zvolit vhodný krok h > 0. Na jeho základě definujeme

$\begin{array}{cc}{y}_{n+1}& =y_n+\frac{1}{6}(k_1+2k_2+2k_3+k_4),\\ t_{n+1}& =t_n+h\\ \end{array}$

pro n = 0, 1, 2, 3, ..., přičemž

$\begin{array}{cc}{k}_1& =hf(t_n,y_n),\\ k_2& =hf(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_1}{2}),\\ k_3& =hf(t_n+\frac{h}{2},y_n+\frac{k_2}{2}),\\ k_4& =hf(t_n+h,y_n+k_3).\end{array}$

Číslo $y_n$ je aproximace hodnoty $y(t_n)$. Aproximace se počítají jako vážené průměry čtyř jednodušších odhadů $k_1$ až $k_4$. Zdůvodnění tohoto postupu vychází ze Simpsonova pravidla pro integrál rovnice za předpokladu, že $f$ nezávisí na $y$.

Popsaná metoda dosahuje v jednom kroku chyby v řádu $O(h^5)$ a celkově akumulované chyby v řádu $O(h^4).$ Neuvažujeme-li vliv zaokrouhlovacích chyb, tak menší krok obvykle vede k přesnějšímu odhadu, avšak za cenu více počítání.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat