Eulerova metoda

Eulerova metoda je nejjednodušší metodou numerického řešení obyčejných diferenciálních rovnic s danými počátečními podmínkami. Publikoval ji Leonhard Euler v roce 1768. V oblasti numerické integrace lze nalézt určitou podobnost s obdélníkovou metodou.

Odvození

Eulerova metoda vychází z rovnic pro změnu polohy x(t) a rychlosti v(t) určitého objektu. Proměnná a(t) značí zrychlení.

$a(t)=\frac{dv(t)}{dt}$

a

$v(t)=\frac{dx(t)}{dt}$

tedy

$v(t_0+h)=v(t_0)+ha(t_0)$

a

$x(t_0+h)=x(t_0)+hv(t_0)$

Odchylka (chyba metody)

Odchylku Eulerovy metody lze nejlépe znázornit porovnáním s Taylorovým rozvojem trajektorie daného objektu. Pokud přesně známe x(t), v(t) a a(t) v čase t₀, pak v čase t₀ + h dává Eulerova metoda hodnotu

$x(t_0+h)=x(t_0)+hv(t_0).$

Hodnota Taylorova rozvoje je

$x(t_0+h)=x(t_0)+hv(t_0)+\frac{1}{2}{h}^{2}a(t_0)+O(h^3).$

Odchylka (také lokální diskretizační chyba nebo chyba jednoho kroku) Eulerovy metody je tedy dána rozdílem mezi těmito dvěma rovnicemi:

$-\frac{1}{2}{h}^{2}a(t_0)+O(h^3).$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat