Arkus tangens

Grafy funkcí arkus tangens a arkus kotangens

Arkus tangens je jedna z cyklometrických funkcí, inverzní funkce k funkci tangens. Obvykle se značí arctg x nebo arctan x, v anglické literatuře se taktéž používá atan x či tan⁻¹ x. Její hodnotou je úhel v obloukové míře z intervalu $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, popřípadě ve stupňové míře z intervalu (−90°; 90°), jehož tangens je x. Je to jedna z nejdůležitějších funkcí matematické analýzy.

Definice

Funkce arctg x je inverzní funkce k funkci tg x, jejíž definiční obor byl omezen na interval $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$. Díky tomuto omezení je výchozí funkce prostá, takže požadovaná inverzní funkce existuje.

Vlastnosti

Funkce $y=\text{arctg }x$ v obloukové míře je bijekcí mezi množinou reálných čísel $ℝ$ a intervalem $(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$, což mimo jiné dokazuje, že každý interval má stejnou mohutnost jako množina reálných čísel.

Dále má tato funkce následující vlastnosti:

Definiční obor	$ℝ$
Obor hodnot	$(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2})$
Omezenost	Je omezená
Monotonie	Je rostoucí, a tedy prostá
Symetrie	Je lichá
Periodicita	Není periodická
Limity	$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }\text{arctg }x=-\frac{\pi }{2}$ $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }\text{arctg }x=\frac{\pi }{2}$ $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to 0}\frac{\text{arctg }x}{x}=1,$  takže v okolí nuly je $\text{arctg }x\approx x$
Inverzní funkce	$x=\text{tg }y$   (tangens)
Derivace	$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\text{arctg }x=\frac{1}{1+x^2}$
Integrál	$\int \text{arctg }x\mathrm{d}x=x\text{arctg }x-\frac{1}{2}\ln (1+x^2)+C$

Vzorce

$\text{arctg }x=\frac{\pi }{2}-\text{arccotg }x=\arcsin \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}=\frac{\pi }{2}-\arccos \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$

$\text{arctg }(-x)=-\text{arctg }x$

$\text{arctg }\frac{1}{x}=\{\begin{array}{cc}\frac{\pi }{2}-\text{arctg }x=\text{arccotg }x& \text{pokud }x>0\\ -\frac{\pi }{2}-\text{arctg }x=-\pi +\text{arccotg }x& \text{pokud }x<0\end{array}$

$\frac{1}{2}\text{arctg }x=\text{arctg}\frac{x}{1+\sqrt{1+x^2}}$

$2\text{arctg }x\equiv \text{arctg}\frac{2x}{1-x^2}(\mathrm{mod}\pi ),x\ne \pm 1$

$\text{arctg }x+\text{arctg }y\equiv \text{arctg}\frac{x+y}{1-xy}(\mathrm{mod}\pi ),xy\ne 1$

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat

Šablona:Goniometrické a cyklometrické funkce