Podmíněnost matice

Šablona:Upravit Podmíněnost matice nebo též číslo podmíněnosti matice, je číslo, které kvalitativně charakterizuje danou matici a do značné míry determinuje chování (zejména přesnost) řady numerických maticových algoritmů.

Čtvercová regulární matice

Nechť $A\in {ℝ}^{n\times n}$ je čtvercová regulární matice, pak číslo

${\kappa }_p(A)=\Vert A{\Vert }_p\Vert A^{-1}{\Vert }_p,$

kde $\Vert \cdot {\Vert }_p$ značí libovolnou maticovou normu, nazveme podmíněností matice $A$ vzhledem k této normě (v praxi se nejčastěji používá $\Vert \cdot {\Vert }_2$ spektrální a $\Vert \cdot {\Vert }_F$ Frobeniova norma).

Uvažujme podmíněnost indukovanou spektrální normou. Je-li matice $A$ symetrická pozitivně definitní (tj. normální matice s kladnými vlastními čísly), pak

${\kappa }_2(A)=\frac{{\lambda }_{\max }(A)}{{\lambda }_{\min }(A)},$

kde podíl vpravo je podíl největšího a nejmenšího vlastního čísla matice $A$.

Je-li regulární matice $A$ normální (tedy $A^{T}A=A{A}^T$), pak

${\kappa }_2(A)=\frac{\max \{|\lambda |;\lambda \in \mathrm{s}\mathrm{p}(A)\}}{\min \{|\lambda |;\lambda \in \mathrm{s}\mathrm{p}(A)\}},$

kde $\mathrm{s}\mathrm{p}(A)$ je spektrum matice $A$; podmíněnost je tedy podíl v absolutní hodnotě největšího a v absolutní hodnotě nejmenšího vlastního čísla matice $A$.

Pro obecnou čtvercovou regulární matici $A$ je podmíněnost

${\kappa }_2(A)=\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_n}=\frac{{\sigma }_{\max }(A)}{{\sigma }_{\min }(A)},$

dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla matice $A$ (singulární čísla normálních matic jsou absolutní hodnoty vlastních čísel).

Zřejmě obecně platí

${\kappa }_2(A)={\kappa }_2(A^T)={\kappa }_2(A^{-1})={\kappa }_2(\alpha A),{\kappa }_2(A{A}^T)={\kappa }_2(A^{T}A)={\kappa }_2(AA)={\kappa }_2^2(A).$

Příklady

Ortogonální matice

Je-li matice $A$ ortogonální, pak zřejmě ${\kappa }_2(A)=1$. Obecně platí

$A^{T}A=A{A}^T={\alpha }^2{I}_n⟺{\kappa }_2(A)=1,$

kde $\alpha \ne 0$.

Vzdálenost od nejbližší singulární matice

Je-li matice $A$ regulární, a matice $E$ je nějaká její perturbace tak, že

$\frac{\Vert E{\Vert }_2}{\Vert A{\Vert }_2}<\frac{1}{{\kappa }_2(A)}$

pak je i matice $A+E$ regulární. Důkaz jen naznačíme. Podmínku

$\frac{\Vert E\Vert }{\Vert A\Vert }<\frac{1}{\kappa (A)}=\frac{1}{\Vert A\Vert \Vert A^{-1}\Vert }$

lze zapsat ve tvaru $\Vert A^{-1}\Vert \Vert E\Vert <1$. Místo tvrzení původního lze snadno dokázat tvrzení opačné: je-li $A+E$ singulární, pak $\Vert A^{-1}\Vert \Vert E\Vert \ge 1$. Nechť tedy existuje $v\ne 0$ tak, že $(A+E)v=0$, tedy $v=-A^{-1}Ev$, pak

$\Vert v\Vert =\Vert A^{-1}Ev\Vert \le \Vert A^{-1}\Vert \Vert E\Vert \Vert v\Vert .$

Protože $\Vert v\Vert \ne 0$ můžeme nerovnost dělit $\Vert v\Vert$ a dostáváme shora uvedené tvrzení. (Všimněme si, že důkaz a tedy i tvrzení platí pro libovolnou multiplikativní maticovou normu a jí indukovanou podmíněnost, nejen pro normu spektrální.)

Podmíněnost (respektive její převrácená hodnota) tedy vyjadřuje vzdálenost od nejbližší singulární matice.

Podmíněnost versus determinant

Pro rozlišení singulárních a regulárních matic se často používá determinantu matice. Velkou nevýhodou determinantu, ve srovnání s číslem podmíněnosti, je fakt, že je-li determinant nenulový ale velmi blízký nule, o vzdálenosti dané matice od nejbližší matice singulární to nic nevypovídá. V praktických výpočtech je tudíž determinant naprosto nepoužitelný. Uvažujme pro příklad skalární násobek jednotkové (tedy ortogonální a bezesporu regulární) matice

$A=\alpha I_n\in {ℝ}^{n\times n},\alpha =10^{-1},n=1000,$

pak

$\det (A)={\alpha }^n=10^{-1000},{\kappa }_2(A)=\frac{\alpha }{\alpha }=1.$

V běžně používané konečné aritmetice s plovoucí řádovou čárkou (double, ${ϵ}_M\approx 2.22\times 10^{-16}$) je determinant této matice nulový.

Podmíněnost singulární matice jako limita

Nechť $A(t)$ je matice jejíž koeficienty spojitě závisí na parametru $t$ a nechť všechna singulární čísla matice $A(t)$ jsou jednoduchá pro všechna $t$ (pak jsou též spojitými funkcemi parametru $t$). Nechť je matice $A(t)$ regulární všude v nějakém okolí bodu $t=t_0$ a zároveň $A(t_0)$ je singulární. Pak

$\underset{t\to t_0}{\lim }{\kappa }_2(A(t))=+\mathrm{\infty }.$

Obdélníková matice

Uvažujme obdélníkovou matici $A\in {ℝ}^{m\times n}$, která má plnou hodnost, tedy $\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{k}(A)=r\equiv \min \{m,n\}$. Podmíněnost je pak opět dána podílem největšího a nejmenšího singulárního čísla

${\kappa }_2(A)=\frac{{\sigma }_1}{{\sigma }_r}=\frac{{\sigma }_{\max }(A)}{{\sigma }_{\min }(A)}=\Vert A{\Vert }_2\Vert A^{†}{\Vert }_2,$

kde $A^{†}$ je Mooreova–Penroseova pseudoinverze matice $A$.

Podmíněnost obecné matice lze analogicky definovat pomocí součinu normy matice a normy její Mooreovy–Penroseovy pseudoinverze, tedy jako podíl největšího a nejmenšího nenulového singulárního čísla. Takto definovaná podmíněnost je vždy konečné číslo, a je tedy různá od podmíněnosti shora uvedené čtvercové singulární matice, která byla zavedena limitním přechodem. V numerické analýze se ovšem velmi často vyskytují matice regulární, nebo alespoň plné hodnosti. Konečná podmíněnost zcela obecné matice je potřeba řidčeji.

Reference

• J. Duintjer Tebbens, I. Hnětynková, M. Plešinger, Z. Strakoš, P. Tichý: Analýza metod pro maticové výpočty, základní metody. Matfyzpress 2012. Šablona:ISBN.