Unitární matice

Unitární matice je čtvercová komplexní matice A, jejíž hermitovsky sdružená matice je současně maticí inverzní, tj.

$A^{-1}=A^H,\text{a tedy}{A}^{H}A=A{A}^H=I,\text{kde}{A}^H={\overline{A}}^T$

a $I$ je jednotková matice.

Unitární matice jsou příkladem normálních matic. Reálná unitární matice je ortogonální.

Unitární matice reprezentují unitární transformaci komplexního vektorového prostoru vzhledem k ortonormální bázi.

Množina všech unitárních matic $n\times n$ tvoří grupu, která se nazývá unitární a značí $U(n)$.

Dvojrozměrné matice

Libovolnou unitární $2\times 2$ matici $U$ lze parametrizovat různým způsobem. Matici lze například vyjádřit jako součin tří matic a komplexního prefaktoru způsobem

$U=e^{i\alpha }\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\beta /2}& 0\\ 0& e^{i\beta /2}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)& -\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)\\ \sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)& \cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{e}^{-i\delta /2}& 0\\ 0& e^{i\delta /2}\end{array}\right)=e^{i\alpha }\left(\begin{array}{cc}\cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)e^{-\frac{i}{2}(\beta +\delta )}& -\sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)e^{\frac{i}{2}(-\beta +\delta )}\\ \sin \left(\frac{\gamma }{2}\right)e^{\frac{i}{2}(\beta -\delta )}& \cos \left(\frac{\gamma }{2}\right)e^{\frac{i}{2}(\beta +\delta )}\end{array}\right)$,

kde $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ jsou reálná čísla.

Trojrozměrné matice

Libovolnou unitární $3\times 3$ matici $U$ lze parametrizovat různým způsobem, viz např. . V takovéto parametrizaci lze obecnou unitární matici zapsat ve tvaru:

$U=e^{i\alpha }\left(\begin{array}{ccc}{e}^{i{\phi }_1}\cos \left({\theta }_1\right)\cos \left({\theta }_2\right)& e^{i{\phi }_3}\sin \left({\theta }_1\right)& e^{i{\phi }_4}\sin \left({\theta }_2\right)\cos \left({\theta }_1\right)\\ e^{i(-{\phi }_4-{\phi }_5)}\sin \left({\theta }_2\right)\sin \left({\theta }_3\right)-e^{i({\phi }_1+{\phi }_2-{\phi }_3)}\sin \left({\theta }_1\right)\cos \left({\theta }_2\right)\cos \left({\theta }_3\right)& e^{i{\phi }_2}\cos \left({\theta }_1\right)\cos \left({\theta }_3\right)& -e^{i({\phi }_2-{\phi }_3+{\phi }_4)}\sin \left({\theta }_1\right)\sin \left({\theta }_2\right)\cos \left({\theta }_3\right)-e^{i(-{\phi }_1-{\phi }_5)}\sin \left({\theta }_3\right)\cos \left({\theta }_2\right)\\ -e^{i(-{\phi }_2-{\phi }_4)}\sin \left({\theta }_2\right)\cos \left({\theta }_3\right)-e^{i({\phi }_1-{\phi }_3+{\phi }_5)}\sin \left({\theta }_1\right)\sin \left({\theta }_3\right)\cos \left({\theta }_2\right)& e^{i{\phi }_5}\sin \left({\theta }_3\right)\cos \left({\theta }_1\right)& e^{i(-{\phi }_1-{\phi }_2)}\cos \left({\theta }_2\right)\cos \left({\theta }_3\right)-e^{i(-{\phi }_3+{\phi }_4+{\phi }_5)}\sin \left({\theta }_1\right)\sin \left({\theta }_2\right)\sin \left({\theta }_3\right)\end{array}\right),$

kde $0\le {\theta }_1,{\theta }_2,{\theta }_3\le \pi /2$ a $0\le \alpha ,{\phi }_1,{\phi }_2,{\phi }_3\le 2\pi$. Pokud $\alpha =0$ odpovídá výše uvedená parametrizace maticím z SU(3), které mají determinant roven jedné.

Související články

• Unitární transformace