Kartézský součin

Ilustrace kartézského součinu $A\times B$ množin $A=\{x,y,z\}$ a $B=\{1,2,3\}$

V matematice je kartézský součin (někdy též direktní součin) množinová operace, přičemž kartézským součinem dvou množin $X$ a $Y$ je množina, označená $X\times Y$, která obsahuje všechny uspořádané dvojice, ve kterých je první položka prvkem množiny $X$ a druhá položka je prvkem množiny $Y$. Kartézský součin obsahuje všechny takové kombinace těchto prvků.

Například kartézským součinem osmiprvkové množiny A = { sedma, osma, devítka, desítka, spodek, svršek, král, eso } se čtyřprvkovou množinou B = { srdce, listy, kule, žaludy } je 32prvková množina A × B = { (sedma, srdce), (sedma, listy), (sedma, kule), (sedma, žaludy), (osma, srdce), …, (eso, kule), (eso, žaludy) }.

Kartézský součin je pojmenován po francouzském matematikovi René Descartovi, z jehož formulací analytické geometrie je tento koncept odvozen.

Formální definice

$X\times Y=\{(x,y):x\in X\wedge y\in Y\}$

Například kartézským součinem množiny všech reálných čísel $ℝ$ se sebou samou vznikne rovina $ℝ\times ℝ$, což je možno psát jako ${ℝ}^2$ („kartézská mocnina“). Libovolný bod v této rovině je možno popsat uspořádanou dvojicí $(x,y):x,y\in ℝ$, viz kartézský souřadnicový systém.

Definici kartézského součinu dvou množin je možno rozšířit na kartézský součin libovolného počtu množin, jehož výsledkem je množina n-tic, takto:

$X_1\times X_2\times \dots \times X_n=\{(x_1,x_2,\dots ,x_n):x_i\in X_i,1\le i\le n\}$

Příkladem takového součinu je trojrozměrný euklidovský prostor ${ℝ}^3=ℝ\times ℝ\times ℝ$.

Vlastnosti

Kartézský součin není komutativní ani asociativní operace a nemá neutrální prvek.

Kartézský součin konečných množin má mohutnost rovnou součinu mohutností jednotlivých množin. Obecně má kartézský součin mohutnost rovnou kardinálnímu součinu mohutností jednotlivých množin. V případě, že je alespoň jedna množina nekonečná, je mohutnost kartézského součinu rovna maximu z mohutností jednotlivých množin.

Je-li kartézským součinem prázdná množina ($A\times B=\mathrm{\varnothing }$), pak je $A=\mathrm{\varnothing }$ nebo $B=\mathrm{\varnothing }$.

Nekonečný součin

Předchozí definice popisuje kartézský součin libovolného avšak konečného počtu množin. V některých oblastech matematiky se může hodit kartézský součin nekonečně mnoha množin. Ten lze definovat jako:

$\prod _{i\in I}{X}_i=\{f:I\to \bigcup _{i\in I}{X}_i|(\mathrm{\forall }i)(f(i)\in X_i)\}$

Zde $I$ je množina indexů, $\{X_i:i\in I\}$ je množina operandů (množin), indexovaná prvky $I$.

Kartézský součin je zde tedy definován jako množina funkcí z $I$ do sjednocení všech množin, které jsou operandy. Každá z těchto funkcí je zobecněním n-tice, tzn. tvoří nekonečně-složkovou obdobu konečně-složkových n-tic. n-tici lze chápat jako speciální (konečný) případ této funkce, kde $(x_1,x_2,\dots )$ odpovídá takové funkci $f$, u které $f(1)=x_1,f(2)=x_2,\dots$

Význam kartézského součinu

Význam kartézského součinu vyplývá především z toho, že je nadmnožinou pro všechny binární relace (nebo obecněji pro n-ární relace). Z tohoto pohledu jsou veškeré úvahy o vztazích mezi prvky dvou množin (nebo o vztazích mezi prvky jedné množiny) vedeny v rámci kartézského součinu, který se tak stává „rámcovou množinou“ například pro většinu algebraických struktur. Vztahy jako uspořádání na množině $X$ jsou určité podmnožiny $X\times X$, operace na množině jsou určité podmnožiny $X\times X\times X$.

Direktní součin

Pro mnoho matematických struktur (např. algebraické, topologické atd.) se používá pojem direktní součin souboru několika struktur (i nekonečně mnoho) pro strukturu, jejíž nosnou množinou je jejich kartézský součin a struktura se na něj přenáší.

Například direktní součin monoidů $(\mathbb{Z},+,0)$ a kladných reálných čísel s násobením$(ℝ,.,1)$ je jejich kartézský součin vybavený binární operací $(z_1,r_1)\circ (z_2,r_2)=(z_1+z_2,r_1.r_2)$ s neutrálním prvkem $(0,1)$.

Související články

• Kardinální aritmetika
• Binární relace
• Uspořádání
• Zobrazení
• Kartézská mocnina

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat