Kartézská mocnina

Kartézská mocnina je matematický pojem z oboru teorie množin, odvozovaný z kartézského součinu podobným způsobem, jako je běžně používaná aritmetická mocnina odvozena ze součinu.

Definice

Základní definice pro přirozené exponenty

Pokud je $X$ množina a $n$ přirozené číslo, pak kartézskou mocninou $X^n$ rozumíme $n$- násobný kartézský součin množiny $X$ se sebou samou:
$X^n=\prod _{1\le i\le n}X$

Speciálně pro $n=2$ dostáváme $X^2$ jako množinu všech uspořádaných dvojic prvků z $X$, pro $n=3$ dostáváme $X^3$ jako množinu všech uspořádaných trojic prvků z $X$.

Obecná definice

Předchozí definici lze zobecnit tak, aby se nevztahovala pouze na konečné množiny:

Kartézskou mocninou $X^Y$ množin $X$ a $Y$ rozumíme množinu všech zobrazení množiny $Y$ do množiny $X$.

Všimněme si, že konkrétně pro Y konečné odpovídá tato definice (až na izomorfismus, jak bude vidět v následujícím příkladu, ale tím se není třeba zatěžovat) výše uvedené základní definici – všechny uspořádané dvojice z $X$ nejsou nic jiného, než všechna zobrazení dvouprvkové množiny ( $Y=\{0,1\}$ nebo $Y=\{1,2\}$ ) do $X$. (Uspořádané n-tice prvků určité množiny se standardně definují jako zobrazení z {0,1,… n} nebo {1,2,… n} do této množiny.) Zajímavá začíná být tato definice pro nekonečné $Y$.

Pokud vezmeme za $Y$ množinu všech přirozených čísel $\omega$, dostáváme kartézskou mocninu $X^{\omega }$ – tj. množinu všech nekonečných posloupností prvků množiny $X$.

Příklad

Mezi výše uvedenými definicemi je přece jen nepatrný rozdíl. Ukážeme si to na následujícím příkladu:

• podle první definice je

$3^2=\{0,1,2\}\times \{0,1,2\}=\{[0,0],[0,1],[0,2],[1,0],[1,1],[1,2],[2,0],[2,1],[2,2]\}$

• podle druhé definice je

$3^2=\{0,1,2{\}}^{\{0,1\}}=\{\{[0,0],[1,0]\},\{[0,0],[1,1]\},\{[0,0],[1,2]\},\{[0,1],[1,0]\},\dots ,\{[0,2],[1,2]\}\}$

Obě množiny se sice nepatrně liší způsobem, jakým je realizována posloupnost dvou prvků (v prvním případě jako uspořádaná dvojice, ve druhém jako zobrazení z dvouprvkové množiny), ale strukturu mají shodnou – jsou izomorfní.

Užití

• Běžná analytická geometrie pracuje obvykle v afinní rovině nebo v afinním prostoru – což není nic jiného, než množiny ${ℝ}^2$ a ${ℝ}^3$ ( jako $ℝ$ je zde označována množina všech reálných čísel).
• Veškeré úvahy teorie množin týkající se binárních relací (například o ekvivalencích nebo o uspořádáních na dané množině $X$) se odehrávají v množině uspořádaných dvojic z dané množiny, tj. v kartézské mocnině $X^2$.
• Posloupnosti na množině reálných čísel nejsou nic jiného, než prvky množiny ${ℝ}^{\omega }$ .
• Obecná (druhá) definice se používá v kardinální aritmetice k definici kardinální mocniny.
• Každá algebraická struktura je obvykle definována jako nějaká množina $X$, na které jsou zavedeny nějaké (nejčastěji binární) operace. Tyto operace nejsou nic jiného, než zobrazení $X^2$ do $X$ (obecněji $X^n$ do $X$, kde $n$ je arita konkrétní operace).

Související články

• Kartézský součin
• Kardinální aritmetika