Pauliho matice

Pauliho matice jsou množina 2 × 2 komplexních hermiteovských a unitárních matic. Obvykle jsou označovány řeckým písmenem 'sigma' (σ), popř. se používá 'tau' (τ), pokud jsou uváděny ve spojitosti s izospinem. Matice mají tvar:

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_2={\sigma }_y=\left(\begin{array}{cc}0& -i\\ i& 0\end{array}\right)$

${\sigma }_3={\sigma }_z=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$

Nesou jméno Wolfganga Pauliho.

Algebraické vlastnosti

${\sigma }_1^2={\sigma }_2^2={\sigma }_3^2=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 1\end{array}\right)=I$

kde $I$ označuje jednotkovou matici.

• Determinanty a stopy Pauliho matic jsou:

$\begin{array}{cccc}\det ({\sigma }_i)& =& -1& \\ \mathrm{Tr}({\sigma }_i)& =& 0& \text{ pro }i=1,2,3\end{array}$

Z předchozího lze odvodit, že vlastní hodnoty každé σ_i jsou ±1.

• Společně s jednotkovou maticí I, která bývá někdy zapisována jako σ₀, tvoří Pauliho matice ortogonální bázi vůči Hilbertově–Schmidtově normě na Hilbertově prostoru reálných Šablona:Math hermitovských matic, ${\mathscr{H}}_2(ℂ)$, případně Hilbertově prostoru komplexních Šablona:Math matic, ${ℳ}_{2,2}(ℂ)$.

Komutační relace

Pauliho matice vyhovují následujícím komutačním a antikomutačním relacím:

$\begin{array}{ccc}[{\sigma }_i,{\sigma }_j]& =& 2i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k\\ \{{\sigma }_i,{\sigma }_j\}& =& 2{\delta }_{ij}\cdot I\end{array}$

kde ${\epsilon }_{ijk}$ je Levi-Civitův symbol, ${\delta }_{ij}$ je Kroneckerovo delta a I je jednotková matice.

Předchozí dvě relace lze vyjádřit ve tvaru:

${\sigma }_i{\sigma }_j={\delta }_{ij}\cdot I+i{\epsilon }_{ijk}{\sigma }_k$.

Např.

$\begin{array}{ccc}{\sigma }_1{\sigma }_2& =& i{\sigma }_3,\\ {\sigma }_2{\sigma }_3& =& i{\sigma }_1,\\ {\sigma }_2{\sigma }_1& =& -i{\sigma }_3,\\ {\sigma }_1{\sigma }_1& =& {\sigma }_2{\sigma }_2& =& {\sigma }_3{\sigma }_3& =& I.\end{array}$

Další relace

Např.

$\begin{array}{ccccc}{\sigma }_1{\sigma }_1^T& =& {\sigma }_1^T{\sigma }_1& =& I,\\ {\sigma }_2{\sigma }_2^T& =& {\sigma }_2^T{\sigma }_2& =& -I,\\ {\sigma }_3{\sigma }_3^T& =& {\sigma }_3^T{\sigma }_3& =& I,\end{array}$

kde index $T$ značí transponování matice.

Fyzika

• V kvantové mechanice představuje každá Pauliho matice pozorovatelnou popisující orientaci spinu částice se spinem ½ v třírozměrném prostoru. Matice $\mathrm{i}{\sigma }_j$ představují generátory rotací pro nerelativistické částice se spinem ½. Kvantový stav částice je představován dvoukomponentovým spinorem. Částice se spinem ½ mají tu vlastnost, že musí být otočeny o úhel $4\pi$, aby se vrátily do svého původního stavu.

• Pro částice se spinem ½ je operátor spinu určen jako $𝐉=\frac{\hslash }{2}\mathit{\sigma }$. Pauliho matice mohou být zobecněny k popisu částic s vyššími hodnotami spinu ve třírozměrném prostoru. Spinové matice pro spin $1$ a $\frac{3}{2}$ mají tvar:

$j=1$:

$J_x=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$

$J_y=\frac{\hslash }{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& -i& 0\\ i& 0& -i\\ 0& i& 0\end{array}\right)$

$J_z=\hslash \left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& -1\end{array}\right)$

$j=\frac{3}{2}$:

$J_x=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cccc}0& \sqrt{3}& 0& 0\\ \sqrt{3}& 0& 2& 0\\ 0& 2& 0& \sqrt{3}\\ 0& 0& \sqrt{3}& 0\end{array}\right)$

$J_y=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cccc}0& -i\sqrt{3}& 0& 0\\ i\sqrt{3}& 0& -2i& 0\\ 0& 2i& 0& -i\sqrt{3}\\ 0& 0& i\sqrt{3}& 0\end{array}\right)$

$J_z=\frac{\hslash }{2}\left(\begin{array}{cccc}3& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -3\end{array}\right)$

Související články

• Moment hybnosti
• Poincarého grupa
• Pauliho rovnice