Derivační článek

Dvě možná zapojení pasivního derivačního článku

Derivační článek (derivátor) je elektronický obvod, který v obvodu provádí matematickou operaci derivování – napětí na výstupu je derivací napětí na vstupu podle času. Ideální derivační článek tak realizuje funkci:

$u_2(t)=\frac{1}{K_{\mathrm{d}}}\frac{d}{dt}{u}_1(t)$,

kde $K_{\mathrm{d}}$ je konstanta derivátoru.

Funkce

Derivační článek má frekvenční charakteristiku hornopropustného filtru – se zvyšující se frekvencí vstupního napětí výstupní napětí roste. U ideálního derivátoru odpovídá desetinásobnému zvýšení frekvence desetinásobný vzrůst amplitudy, sklon jeho logaritmické amplitudové frekvenční charakteristiky tedy je +20 dB/dek.

Přenos derivačního článku je $F(j\omega )=\frac{U_2}{U_1}=\frac{j\omega K_{\mathrm{d}}}{1+j\omega K_{\mathrm{d}}}$.

Derivační konstanta pasivního derivačního článku s rezistorem a kondenzátorem je K_d  = RC, s rezistorem a cívkou K_d  = L/R.

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a kondenzátorem je:

$|A(j\omega ){|}_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log \omega RC-20\log \sqrt{1+{\omega }^2{R}^2{C}^2}$

První člen LAFCH tvoří přímku stoupající se strmostí 20 dB/dek, která protíná osu X v bodě ${\omega }_0=1/RC$ (na obrázku vyznačena černě), u druhého členu lze diskutovat tři případy:

1. Je-li $\omega RC<<1$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence ${\omega }_0$ roven nule.
2. Je-li $\omega RC=1$, je $\omega ={\omega }_0=1/RC=1/K_i$ kde ${\omega }_0$ je úhlová frekvence zlomu.
3. Je-li $\omega RC>>1$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem ve zlomové úhlové frekvenci ${\omega }_0$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Součtem obou průběhů dostáváme výslednou charakteristiku, ta až do bodu ${\omega }_0$ stoupá se strmostí +20 dB/dek k ose X, a od tohoto bodu sleduje osu X (na obrázku vyznačeno modře).

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika (LAFCH) derivačního článku s rezistorem a cívkou je:

$|F(j\omega ){|}_{dB}=20\log |F(j\omega )|=20\log \omega \frac{L}{R}-20\log \sqrt{1+{\omega }^2\frac{L^2}{R^2}}$

První člen LAFCH tvoří přímku stoupající se strmostí 20 dB/dek, která protíná osu X v bodě ${\omega }_0=R/L$ (na obrázku vyznačena černě), u druhého členu lze diskutovat tři případy:

1. Je-li $\omega L/R<<1$, pak i druhý člen je roven nule a přenos je až do zlomové úhlové frekvence ${\omega }_0$ roven nule.
2. Je-li $\omega L/R=1$, je $\omega ={\omega }_0=R/L=1/K_i$ kde ${\omega }_0$ je úhlová frekvence zlomu.
3. Je-li $\omega L/R>>1$, můžeme jedničku v odmocnině zanedbat a dostáváme tak přímku s počátkem v úhlové zlomové frekvenci ${\omega }_0$ která klesá se strmostí -20 dB/dek.

Součtem obou průběhů dostáváme výslednou charakteristiku, ta až do bodu ${\omega }_0$ stoupá se strmostí +20 dB/dek k ose X, a od tohoto budu sleduje osu X (na obrázku vyznačeno modře).

Logaritmická amplitudová frekvenční charakteristika derivačního článku(pasivní horní propusti)

LAFCH je pouze aproximací skutečné charakteristiky, největší chyba nastává v bodě ${\omega }_0$ (3 dB).

Konstrukce

Derivační článek obsahuje nejméně jednu frekvenčně závislou součástku (kondenzátor, cívka). Nejjednodušším zapojením je pasivní zapojení využívající jeden kondenzátor či cívku. Aktivní elektronický derivátor obsahuje operační zesilovač s rezistorem a kondenzátorem. Derivátor lze také koncipovat jako digitální součástku, např. složením převodníku napětí-frekvence s čítačem impulsů.

Reference

• Kotlan Jiří: Syntéza elektrických obvodů I. Západočeská univerzita, Plzeň 1995. Šablona:ISBN
• Pinker Jiří, Koucký Václav: Analogové elektronické systémy 2. Západočeská univerzita, Plzeň 2004. Šablona:ISBN

Související články

• Integrační článek