Singularita (matematika)

Singularita je v matematice obecný název bodu, ve kterém daný matematický objekt není definován, nebo kde se objekt nechová v jistém smyslu rozumně — například není diferencovatelný. Například funkce $f(x)=\frac{1}{x}$ má na množině reálných čísel singularitu v bodě $x=0$, kde diverguje k nekonečnu a není zde definovaná, a funkce $f(x)=\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{s}(x)$ má také na množině reálných čísel singularitu v bodě $x=0$, protože zde nemá derivaci. Body, v nichž funkce není singulární, se označují jako regulární.

Izolované singularity

V komplexní analýze je singularita bod, ve kterém funkce není komplexně diferencovatelná. Singularity hrají v komplexní analýze obzvláště významnou roli díky tomu, že Taylorovy nebo obecněji Laurentovy řady kolem daného bodu konvergují na kruhu nebo mezikruží až po nejbližší singularitu. Krom toho v singulárním bodě může mít funkce reziduum, což se významně projeví na chování křivkových integrálů kolem tohoto bodu. Významnou roli mají především singularity izolované, kolem kterých existuje takové okolí, že v něm nejsou další singularity. Formálněji řečeno, má-li funkce $f$ v bodě $z_0$ singularitu a existuje-li prstencové okolí bodu $z_0$, na němž je $f$ holomorfní, pak se bod $z_0$ nazývá izolovaná singularita.

Podle limitního chování funkce $f$ v singularitě se izolované singularity se dělí na odstranitelné, podstatné a póly.

Odstranitelná singularita

Má-li funkce $f$ v bodě $z_0$ singularitu a existuje-li limita $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)<\mathrm{\infty }$, potom je tato singularita odstranitelná. Přitom platí:

• dodefinujeme-li $f$ v bodě $z_0$ uvedenou limitou, je tato funkce v bodě $z_0$ holomorfní;
• existuje kolem bodu $z_0$ Taylorova řada pro $f$ stejnoměrně konvergentní po nejbližší další singularitu.

Podstatná singularita

Má-li funkce $f$ v bodě $z_0$ singularitu a limita $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)$ neexistuje, potom má $f$ v bodě $z_0$ podstatnou singularitu. V takovém případě má Laurentova řada kolem $z_0$ nekonečně mnoho členů v hlavní části. Typickým příkladem takovéto singularity je singularita funkce $\exp (-\frac{1}{z^2})$ v bodě $z=0$.

Pól n-tého řádu

Má-li funkce $f$ v bodě $z_0$ singularitu a existuje-li limita $\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=\mathrm{\infty },$, pak platí, že existuje (přirozené) číslo $n$ takové, že $\underset{z\to z_0}{\lim }{(z-z_0)}^{n}f(z)<\mathrm{\infty }$. Potom $f$ má v $z_0$ pól $n$-tého řádu. Pól $n$-tého řádu znamená, že funkce $f$ se v okolí $z_0$ chová podobně jako nějaký nenulový násobek funkce $(z-z_0{)}^{-n}$. Pokud je v $z_0$ pól, dá se kolem $z_0$ $f$ rozvinout do Laurentovy řady, která bude mít právě $n$ členů ve své hlavní části. Pól prvního řádu se často označuje jako jednoduchý.

Literatura

• Šablona:Citace elektronické monografie