Limita funkce

Limita funkce je matematická konstrukce vyjadřující, že se hodnoty zadané funkce blíží libovolně blízko k nějakému bodu. Právě tento bod je pak označován jako limita. Tato skutečnost se zapisuje $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$.

Hlavní motivací pro používání limit je možnost „opravit“ chování funkce. Pokud nelze hodnotu funkce v určitém bodě spočítat (např. kvůli dělení nulou), ale v jeho okolí se chová „rozumně“, funkci můžeme opravit tak, že její funkční hodnotu v problematickém bodě nahradíme limitou. Zda se funkce v okolí určitého bodu chová rozumně, lze poznat podle toho, že limita existuje.

Limita funkce je základní pojem v matematické analýze, v diferenciálním a integrálním počtu. Například definice spojitosti funkce používají limitu: funkce je spojitá, pokud se její funkční hodnota v každém bodě rovná její limitě v tomto bodě.

Definice

Definice podle Cauchyho

Funkce f zobrazuje prstencové okolí bodu a do okolí bodu A.

Číslo $A\in ℝ$ je limitou funkce $f:ℝ\to ℝ$ v bodě $a\in ℝ$, jestliže k libovolnému $\epsilon >0$ existuje takové $\delta >0$, že pro všechna $x\in D_f$ taková, že $|x-a|<\delta$ ($x$ leží v prstencovém okolí bodu $a$) platí $|f(x)-A|<\epsilon$.

Limitu má smysl zkoumat jen v definičním oboru funkce neobsahujícím bod $a$, tj. libovolně blízko k bodu $a$ musí být funkce definována.

Definice podle Heineho

Číslo $A\in ℝ$ je limitou funkce $f:ℝ\to ℝ$ v hromadném bodě $a$ definičním oboru funkce, jestliže pro každou posloupnost $\{x_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, kde $x_n\in D(f)-\{a\}$ a $x_n\to a$ platí $f(x_n)\to A$.

Heineho a Cauchyova definice jsou ekvivalentní. Heineho se používá k výpočtu limit, Cauchyova častěji k důkazům.

Definice pomocí spojitosti

V definici spojitosti funkce obvykle figuruje limita. Přímým důsledkem takové definice je fakt, že v bodě, ve kterém je funkce spojitá, je limita rovna funkční hodnotě. Je však možné nadefinovat spojitost i nezávisle, například Cauchyho definice spojitosti. Potom je možné limitu zavést tak, že platí $$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$$právě tehdy, když je funkce $g(x)$ definovaná předpisem$$g(x)=\{\begin{array}{cc}A& x=a\\ f(x)& \text{jinak}\end{array}$$spojitá v bodě $a$. Tato definice nejlépe vystihuje hlavní motivaci pro pojem limita funkce (možnost „opravit“ chování funkce, viz úvod).

Limita zprava a zleva

Limity x → x₀⁺ ≠ x → x₀⁻. Proto limita pro x → x₀ neexistuje.

Funkce $f:ℝ\to ℝ$ má v bodě $a$ jednostrannou limitu $A$ zleva resp. zprava, jestliže k libovolnému číslu $\epsilon >0$ existuje číslo $\delta >0$ takové, že pro všechna $x\in D_f-\{a\}$ splňující podmínku $x\in (a-\delta ,a)$ resp. $x\in (a,a+\delta )$, tj. pro všechna $x$ z levého resp. pravého okolí bodu $a$, platí $|f(x)-A|<\epsilon$, tj.:

$\underset{x\to a-}{\lim }f(x)=A$ - limita zleva

$\underset{x\to a+}{\lim }f(x)=A$ - limita zprava

Funkce $f(x)$ má v bodě $a$ limitu právě tehdy, pokud má v tomto bodě současně limitu zleva i zprava a tyto limity se rovnají, např. funkce $f(x)=\frac{1}{x}$ nemá v bodě nula limitu, ačkoliv má obě jednostranné limity:

$\underset{x\to 0-}{\lim }\frac{1}{x}=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0+}{\lim }\frac{1}{x}=\mathrm{\infty }$

Limita funkce více proměnných

Funkce $n$-proměnných $f:{ℝ}^{𝕟}\to ℝ$ má v bodě $A=[a_1,a_2,...,a_n]$ limitu $B$, jestliže k libovolnému číslu $\epsilon >0$ existuje číslo $\delta >0$ takové, že pro všechny body $X=[x_1,x_2,...,x_n]$ z $\delta$-okolí bodu $A$ s výjimkou samotného bodu $A$ platí $|f(X)-B|<\epsilon$. Takovou limitu značíme některým z následujících způsobů:

• $\underset{X\to A}{\lim }f(X)=B$
• $\underset{[x_1,x_2,...,x_n]\to A}{\lim }f(X)=B$
• $\underset{[x_1,x_2,...,x_n]\to [a_1,a_2,...,a_n]}{\lim }f(X)=B$
• $\underset{\begin{array}{c}{x}_1\to a_1\\ x_2\to a_2\\ ⋮\\ x_n\to a_n\end{array}}{\lim }f(X)=B$

U funkce $n$-proměnných je možné provádět limitní přechod nejen vůči všem proměnným, ale také vzhledem k pouze několika proměnným, např. $\underset{x_1\to a_1}{\lim }f(x_1,x_2,...,x_n)=g(x_2,x_3,...,x_n)$, kde $g$ je funkcí $n-1$ proměnných.

Limita komplexní funkce

Komplexní funkce $f:ℂ\to ℂ$ definovaná v okolí bodu $z_0$ má v bodě $z_0$ limitu $A$, jestliže k libovolnému $\epsilon >0$ existuje $\delta$-okolí bodu $z_0$ takové, že

$|f(z)-A|<\epsilon$.

Limitu v bodě $z_0$ zapisujeme:

$\underset{z\to z_0}{\lim }f(z)=A$,

kde limita $A$ může být komplexním číslem.

Nevlastní limita v nevlastním bodě

Pro limitu funkce $f:ℝ\to ℝ$ rozlišujeme: vlastní limita v vlastním bodě, nevlastní limita v vlastním bodě, vlastní limita v nevlastním bodě a nevlastní limita v nevlastním bodě:

• Limitu funkce $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A\in ℝ$ nazýváme vlastní limitou funkce $f$ ve vlastním bodě $a\in ℝ$.
• Limitu funkce $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ nazýváme nevlastní limitou funkce $f$ ve vlastním bodě $a\in ℝ$.
• Limitu funkce $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=A\in ℝ$ nazýváme vlastní limitou funkce $f$ v nevlastním bodě.
• Limitu funkce $\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\lim }f(x)=\pm \mathrm{\infty }$ nazýváme nevlastní limitou funkce $f$ v nevlastním bodě.

Nevlastní limitu ve vlastním bodě lze definovat také zprava nebo zleva, bereme-li pouze pravé nebo levé okolí bodu $a$.

Příklady

Příklad vlastní limity ve vlastním bodě:

$\underset{x\to 3}{\lim }2x=6$

Příklad nevlastní limity ve vlastním bodě:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1}{x^2}=\mathrm{\infty }$

Příklad vlastní limity v nevlastním bodě:

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{2}^x=0$

Příklad nevlastní limity v nevlastním bodě:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^x=\mathrm{\infty }$

Vlastnosti

• Mějme funkci $f$, která má v bodě $a$ limitu $A$ a funkci $g$, která má ve stejném bodě limitu $B$, pak pro libovolné číslo $c$ platí následující vztahy:
  • $\underset{x\to a}{\lim }cf(x)=cA$
  • $\underset{x\to a}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=A\pm B$
  • $\underset{x\to a}{\lim }f(x)g(x)=AB$
  • $\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}$, pokud $B\ne 0$

• Mějme funkci $f$, která má v bodě $a$ limitu $A$, tedy $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$, a funkci $g$, která má v bodě $A$ limitu $B$, tedy $\underset{y\to A}{\lim }g(y)=B$. Pokud existuje takové $\delta >0$, že pro všechna $x$ splňující podmínku $0<|x-a|<\delta$ platí $f(x)\ne A$, pak:

$\underset{x\to a}{\lim }g(f(x))=B$

• Máme-li funkce $f$ a $g$, pro něž v okolí bodu $a$ platí $f(x)\le g(x)$, pak v případě, že obě funkce mají v bodě $a$ limitu, bude platit:

$\underset{x\to a}{\lim }f(x)\le \underset{x\to a}{\lim }g(x)$

• Máme-li funkce $f,g,h$, pro něž v okolí bodu $a$ platí $f(x)\le h(x)\le g(x)$ a existují-li limity $\underset{x\to a}{\lim }f(x)=A$ a $\underset{x\to a}{\lim }g(x)=A$, pak existuje také limita:

$\underset{x\to a}{\lim }h(x)=A$

Příklad funkce bez limity

Příklad funkce bez limity v bodě x=1

Funkce

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\sin \frac{5}{x-1}& \text{ pro }x<1\\ 0& \text{ pro }x=1\\ \frac{0.1}{x-1}& \text{ pro }x>1\end{array}$

nemá limitu v bodě $x_0=1$.

Související články

• Limita
• Limita posloupnosti
• Seznam základních limit
• L'Hospitalovo pravidlo
• Spojitá funkce
• Okolí (matematika)

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Šablona:Otto