Lp prostor

L^p prostor je v matematické analýze normovaný prostor funkcí integrovatelných s p-tou mocninou.

Definice

Nechť $(X,𝒜,\mu )$ je prostor s mírou a $f$ je měřitelná funkce na $X$. Pak pro $p\in ⟨1,\mathrm{\infty })$ definujeme:

$\Vert f{\Vert }_p={(\underset{X}{\int }|f{|}^p\mathrm{d}\mu )}^{1/p}$

a dále definujeme:

$\Vert f{\Vert }_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{s}\sup |f(x)|=\inf \{c\ge 0:|f|\le c\}$, kde nerovnost $|f|\le c$ platí skoro všude na $X$,

pak pro $p\in ⟨1,\mathrm{\infty })$ konečně definujeme ${ℒ}^p$ prostor jako následující množinu měřitelných funkcí:

${ℒ}^p(X)=\{f:\Vert f{\Vert }_p<\mathrm{\infty }\}$.

Zobrazení $\Vert \cdot {\Vert }_p$ není přísně vzato normou, protože funkce, která je nulová pouze skoro všude, se zobrazí na nulu, ale definice normy požaduje, aby se na nulu zobrazil pouze nulový vektor, v tomto případě nulová funkce. Ostatní vlastnosti normy jsou ovšem splněny (trojúhelníková nerovnost plyne z Minkowského nerovnosti). Z rigorózního hlediska je tedy ještě potřeba zavést jiný druh prostoru, označme ho $L^p$, jehož prvky už nebudou funkce, ale třídy ekvivalence funkcí, které jsou si rovny skoro všude. Sčítání a skalární násobení prvků $L^p$ zavedeme přirozeným způsobem a norma třídy je pak dána výše definovanou „normou“ jejího libovolného prvku, neboť ty jsou si v dané třídě všechny rovné. Prvky těchto dvou druhů prostorů se obvykle nerozlišují značením ani pojmenováním.

Vlastnosti

Teoreticky je možné uvažovat i ${ℒ}^p$ prostory pro $p<1$, lze ale ukázat, že $\Vert \cdot {\Vert }_p$ pak není norma. Naopak, pro $p\ge 1$ je ${ℒ}^p$ prostor Banachovým prostorem, pro $p=2$ dokonce Hilbertovým prostorem.

Příklady

• Prostory ${ℒ}^p(\mathrm{\Omega })$ pro množinu $\mathrm{\Omega }\subseteq {ℝ}^n$ s Lebesgueovou mírou.
• Prostory ${\ell }^p$, definované jakožto ${ℒ}^p$-prostory nad množinou přirozených čísel s aritmetickou mírou. Prvky ${\ell }^p$ jsou tedy jisté posloupnosti čísel.