Elementární funkce

Jako elementární funkce je označována funkce, kterou lze získat konečným počtem sečtení, odečtení, násobení, dělení a složení z exponenciální, logaritmické, konstantní, mocninné, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické funkce. Funkce, které nelze vyjádřit prostřednictvím konečného počtu elementárních funkcí, se označují jako vyšší transcendentní funkce.

Jedná se tedy o algebraické funkce a dále o skupinu transcendentních funkcí, označovaných také jako nižší transcendentní funkce. Elementární jsou tedy ty funkce, se kterými se lidé obvykle seznamují v rámci středoškolské matematiky, a které si proto zvykli vnímat jako základní.

Jelikož goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrická funkce, stejně jako obecnou mocninu, lze v komplexním oboru vyjádřit pomocí exponenciály a logaritmu, tak se někdy v úvodní definici mluví jen o exponenciále, logaritmu a konstantě.

Příklady

Mezi elementární funkce řadíme například:

• $\frac{e^{\tan (x)}}{1+x^2}\sin \left(\sqrt{1+{\ln }^{2}x}\right),$
• $\ln (-x^2).$

Příkladem funkce, která není elementární, je chybová funkce: $\mathrm{e}\mathrm{r}\mathrm{f}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}\underset{0}{\overset{x}{\int }}{e}^{-t^2}dt.$

Vlastnosti

Z čistě matematického hlediska nemají žádný jednotný charakter. Ale přesto existují určité společné vlastnosti. Všechny elementární funkce jsou

• diferencovatelné na svém definičním oboru kromě případných izolovaných bodů.
• spojité, takže existují i primitivní funkce (jsou integrovatelné).

Příklad: Mějme funkci $f:ℝ\to ℝ,f(x)=\sqrt{{\sin }^2(x)}=|\sin (x)|$. Tato funkce je diferencovatelná všude kromě bodů $x=k\pi$, kde $k$ je celé číslo. Primitivní funkce také zjevně existuje.

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Elementární funkce - studijní materiál VŠB