Vlnová rovnice

Puls na struně s upevněnými konci modelovaný jednorozměrnou vlnovou rovnicí.

Vlnová rovnice je významnou parciální diferenciální rovnicí druhého řádu hyperbolického typu, která charakterizuje dynamiku vlnění, ať už v akustice, optice, elektromagnetismu či mechanice.

Vlnová rovnice obecně

Vlnovou homogenní rovnici lze vyjádřit ve tvaru:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_1^2}+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_2^2}+...+\frac{{\partial }^{2}z}{\partial x_n^2}$

nebo ekvivalentně ve tvaru pomocí Laplaceova operátoru:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}=\mathrm{\Delta }z$

kde $z$ představuje skalární funkci polohy a času.

V obecnějším tvaru má vlnová rovnice nehomogenní vyjádření:

$\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^{2}z}{\partial t^2}=\mathrm{\Delta }z+f(x_1,x_2,...,x_n)$.

Vlnová rovnice v elektromagnetismu

Vlnové rovnice popisující šíření proudových resp. napěťových vln v čase $t$ po homogenním elektrickém vedení s rozloženými parametry o délce $l$:

Element dx elektrického vedení modelovaný Г-článkem.

$\frac{{\partial }^2}{{\partial x}^2}i(t,x)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{{\partial t}^2}i(t,x)-B\frac{\partial }{\partial t}i(t,x)-Ai(t,x)=0$

$\frac{{\partial }^2}{{\partial x}^2}u(t,x)-\frac{1}{c^2}\frac{{\partial }^2}{{\partial t}^2}u(t,x)-B\frac{\partial }{\partial t}u(t,x)-Au(t,x)=0$

$c^2=\frac{1}{\text{LC}}$$B=(RC+LG)$$A=RG$

řešitelné při znalosti soustavy počátečních podmínek resp. okrajových podmínek I. druhu:

$i(0,x)\equiv {\psi }_i\left(x\right)$ resp. $i(t,0)\equiv {\mu }_i\left(t\right)$

$\frac{\partial }{\partial t}i(0,x)\equiv \dot{{\psi }_i}\left(x\right)$ resp. $i(t,l)\equiv {\nu }_i\left(t\right)$

$u(0,x)\equiv {\psi }_u\left(x\right)$ resp. $u(t,0)\equiv {\mu }_u\left(t\right)$

$\frac{\partial }{\partial t}u(0,x)\equiv \dot{{\psi }_u}\left(x\right)$ resp. $u(t,l)\equiv {\nu }_u\left(t\right)$

mají následující partikulární řešení pro fázory proudu a napětí splňující podmínky $\mu$ resp. $\nu$:

$𝐈\left(x\right)=𝐈\left(0\right)\cosh 𝐩x-{𝐘}_0𝐔\left(0\right)\sinh 𝐩x={\psi }_i\left(x\right)$

$𝐔\left(x\right)=𝐔\left(0\right)\cosh 𝐩x-{𝐙}_0𝐈\left(0\right)\sinh 𝐩x={\psi }_u\left(x\right)$

resp.

$𝐈\left(x\right)=𝐈\left(l\right)\cosh 𝐩(x-l)-{𝐘}_0𝐔\left(l\right)\sinh 𝐩(x-l)={\psi }_i\left(x\right)$

$𝐔\left(x\right)=𝐔\left(l\right)\cosh 𝐩(x-l)-{𝐙}_0𝐈\left(l\right)\sinh 𝐩(x-l)={\psi }_u\left(x\right)$

kde:

${𝐩}^2=(R+j\omega L)(G+j\omega C)=𝐙𝐘$${𝐙}_0\equiv \sqrt{\frac{𝐙}{𝐘}}$${𝐘}_0\equiv \sqrt{\frac{𝐘}{𝐙}}$

a $R,L,G,C$ jsou parametry vedení (rezistance, indukčnost, konduktance, kapacita) a $\omega$ je úhlová frekvence sítě.

Související články

• Vlnění
• Schrödingerova rovnice

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat
• Miloš Křivan: Matematický model elektrické sı́tě