Walshova matice

Přirozeně uspořádaná Hadamardova matice přerovnaná do sekvenčně uspořádané Walshovy matice. Počet změn znamének v řádku v přirozeně uspořádané matici je postupně 0, 15, 7, 8, 3, 12, 4, 11, 1, 14, 6, 9, 2, 13, 5 a 10. V přerovnané Walshově matici počet změn znamének postupně roste. První matice v součinu je permutační matice použitá pro přerovnání řádků původní Hadamardovy matice.

Walshova matice je v matematice je speciálním případem Hadamardových matic, a to s dodatečnou podmínkou, že řádky přerovnány tak, aby počet změn znamének v řádku postupně rostl. Jinými slovy, zatímco Hadamardova matice je definována níže uvedeným rekurentním předpisem a je tak přirozeně uspořádaná, je Walshova matice sekvenčně uspořádaná. Některé zdroje mohou označovat obě matice jako Walshovou matici.

Walshovy matice (a Walshovy funkce) se používají při výpočtu Walshovy transformace a mají aplikace při efektivní implementaci určitých operací zpracování signálu.

Walshovou matici navrhl Joseph L. Walsh v roce 1923.

Konstrukce

Hadamardova matice řádu $2^k$ pro $k\in \mathbb{N}$ je podle Sylvesterovy konstrukce dána rekurentním vzorcem:

${𝑯}_2=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$,

${𝑯}_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right)$,

a obecně

${𝑯}_{2^k}=\left(\begin{array}{cc}{𝑯}_{2^{k-1}}& {𝑯}_{2^{k-1}}\\ {𝑯}_{2^{k-1}}& -{𝑯}_{2^{k-1}}\end{array}\right)={𝑯}_2\otimes {𝑯}_{2^{k-1}}$,

kde $\otimes$ značí Kroneckerův součin matic.

Přerovnání

Walshovu matici lze získat z Hadamardovy matice tak, že se u každého řádku určí počet změn znaménka a řádky jsou pak přerovnány podle počtu změn ve vzestupném pořadí.

Například v Hadamardově matici řádu 4

${𝑯}_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\end{array}\right)$

mají po sobě jdoucí řádky postupně 0, 3, 1 a 2 změn znamének (z 1 na -1 nebo naopak). Po přerovnání do matice

${𝑾}_4=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& -1& -1\\ 1& -1& -1& 1\\ 1& -1& 1& -1\end{array}\right)$

mají po sobě jdoucí řádky postupně 0, 1, 2 a 3 změn znamének.

Přerovnání řádků odpovídá provedení bitově-reverzní permutace a poté permutace Grayova kódu.

Odkazy

Související články

• Haarova vlnka
• Kódový multiplex

Externí odkazy

• Šablona:Commonscat