Vereščaginovo pravidlo

Příklad Vereščaginova pravidla

Vereščaginovo pravidlo je způsob, kterým lze jednoduše vyčíslit hodnotu určitého integrálu součinu dvou funkcí. Pravidlo bylo popsáno ruským inženýrem Andrejem Konstantinovičem Vereščaginem v roce 1925.

Definice

Pravidlo říká, že pro získání numerické hodnoty určitého integrálu součinu dvou funkcí stačí vynásobit plochu opsanou určitým integrálem první funkce $f(x)$ a pořadnici těžiště obrazce funkce druhé ($g(x)$). Obě funkce musejí být hladce spojité a funkce $g(x)$ musí být navíc lineární. Definice je založena na Mohrově integrálu.

$\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\cdot g(x)\mathrm{d}x=A_{f(a,b)}\cdot g_t$

Ve vzorci označuje $f(x)$ a $g(x)$ dvě násobené funkce, $A_{f(a,b)}$ je plocha určitého integrálu funkce $f(x)$ na intervalu $(a,b)$ a $g_t$ je pořadnice funkce v těžišti plochy určitého integrálu funkce $g(x)$ na stejném intervalu.

Aplikace

Nejčastější aplikací Vereščaginova pravidla je výpočet průběhu ohybového momentu na staticky neurčité konstrukci pomocí silové metody (Maxwell-Mohrovy metody). Pro tento výpočet je vzorec upraven následovně:

$\underset{0}{\overset{l}{\int }}M\bar{M}\mathrm{d}x=A_M\cdot \overline{M_t}$

$M$ označuje průběh momentu na základní staticky určité konstrukci, $\bar{M}$ je průběh virtuálního momentu (vždy lineární či konstantní) a $l$ je integrační délka (obvykle délka prutu).

Složitější obrazce lze skládat za použití principu superpozice.

Příklady aplikace

• 
  Pro integraci shodně orientovaných trojúhelníků platí:
  $\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{Lab}{3}$
• 
  Pro integraci opačně orientovaných trojúhelníků platí:
  $\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{Lab}{6}$
• 
  Pro integraci dvou lichoběžníků platí:$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{L}{6}[a(2c+d)+b(2d+c)]$
• 
  Pro integraci obdélníku a trojúhelníku platí:$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{Lab}{2}$
• 
  Pro integraci lichoběžníku a trojúhelníku platí:$\underset{0}{\overset{L}{\int }}{m}_1{m}_{2}dx=\frac{L}{6}a(2c+d)$

Odkazy

Literatura

• Konvalinka, Petr. Analýza stavebních konstrukcí – příklady (online)
• Šablona:Citace monografie

Externí odkazy

• Formulation of Diagram Combination Equations Based on Vereschagin’s Rule Šablona:Wayback
• Mohr’s Method for Calculation of General Displacements Šablona:Wayback