Tenzor intenzity elektromagnetického pole

Tenzor intenzity elektromagnetického pole definovaný jako:

$F_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }{A}_{\nu }-{\partial }_{\nu }{A}_{\mu }$

kde

$A_{\mu }={\eta }_{\mu \nu }{A}^{\nu }=(A^0=\frac{\phi }{c},\overrightarrow{A}),$

${\eta }_{\nu \nu }$ je metrický tenzor, který v STR značíme

${\eta }_{\mu \nu }={\eta }^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0\\ 0& 0& -1& 0\\ 0& 0& 0& -1\end{array}\right),$

$\overrightarrow{A}$ vektorový a $\phi$ skalární potenciál na tzv. čtyřpotenciál definovaný skrz

$\overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{A}}{\partial t}-\mathrm{\nabla }\phi$

$\overrightarrow{B}=\mathrm{\nabla }\times \overrightarrow{A}$

Tenzor intenzity elektromagnetického pole tedy je:

$F_{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& -E_x/c& -E_y/c& -E_z/c\\ E_x/c& 0& B_z& -B_y\\ E_y/c& -B_z& 0& B_x\\ E_z/c& B_y& -B_x& 0\end{array}\right)$

nebo:

$F^{\mu \nu }=\left(\begin{array}{cccc}0& E_x/c& E_y/c& E_z/c\\ -E_x/c& 0& B_z& -B_y\\ -E_y/c& -B_z& 0& B_x\\ -E_z/c& B_y& -B_x& 0\end{array}\right)$

Maxwellovy rovnice nyní jsou

$-{\partial }_{\nu }{F}^{\nu \mu }=J^{\mu },$	(První série Maxwellových rovnic.)
$F_{[\mu \nu ,\kappa ]}=F_{\mu \nu ,\kappa }+F_{\nu \kappa ,\mu }+F_{\kappa \mu ,\nu }=0.$	(Druhá série Maxwellových rovnic.)

Lokální kalibrační transformaci

$A_{\mu }\to A{\text{'}}_{\mu }=A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\varphi (𝐱,t)$

je Kalibrační invariance

$F_{\mu \nu }\to F{\text{'}}_{\mu \nu }={\partial }_{\mu }A{\text{'}}_{\nu }-{\partial }_{\nu }A{\text{'}}_{\mu }=F_{\mu \nu }$