Kalibrační invariance

Šablona:Upravit Kalibrační invariance ve fyzice označuje invarianci teorie pole vůči kalibrační transformaci. Jde o určitý druh symetrie. Kalibrační invariance se poprvé objevila v klasické Maxwellově teorii elektromagnetismu, ukázala se však jako daleko obecnější koncept a podstatný nástroj při sjednocování popisu interakcí v rámci kvantové teorie pole. Stojí tak u základu teorie elektroslabých interakcí (což je kalibračně invariantní teorie s grupou symetrií SU(2)×U(1)) a standardního modelu (grupa symetrií SU(3)×SU(2)×U(1)).

V následujícím popisu budeme pro názornost používat příklad skalárního komplexního pole $\mathrm{\Phi }(x)$ s Lagrangiánem (resp. Lagrangeovskou hustotou)

$L=({\partial }_{\mu }{\mathrm{\Phi }}^{*})({\partial }^{\mu }\mathrm{\Phi })-m^2{\mathrm{\Phi }}^{*}\mathrm{\Phi }=\frac{1}{2}{\partial }_{\mu }{\varphi }_a{\partial }^{\mu }{\varphi }^a-\frac{1}{2}{m}^2{\varphi }_a{\varphi }^a$

kde

$\mathrm{\Phi }=\frac{1}{\sqrt{2}}({\varphi }_1+i{\varphi }_2)$ (a=1,2).

Globální a lokální transformace

Obecně, kalibrační transformace může být buď globální nebo lokální. Příkladem globální transformace může být

$\mathrm{\Phi }(x)\mapsto e^{i\lambda }\mathrm{\Phi }(x)$

$\mathrm{\Phi }(x{)}^{*}\mapsto e^{-i\lambda }\mathrm{\Phi }(x{)}^{*}$

kde λ je konstanta ($e^{i\lambda }ϵU(1))$, U(1) je Lieova grupa).

Lokální U(1) kalibrační transformaci

$\mathrm{\Phi }\to {\mathrm{\Phi }}^{\prime }=e^{ie\lambda (x)}\mathrm{\Phi }$

vymáha

$L=(D_{\mu }\mathrm{\Phi }{)}^{*}(D^{\mu }\mathrm{\Phi })-m^2{\mathrm{\Phi }}^{*}\mathrm{\Phi }$

kde $D_{\mu }={\partial }_{\mu }-ie{A}_{\mu }$ Lokální transformaci

$A_{\mu }\to A{\text{'}}_{\mu }=A_{\mu }+{\partial }_{\mu }\lambda (𝐱,t)$

je Kalibrační transformaci $A_{\mu }$. Tenzor intenzity elektromagnetického pole $F_{\mu \nu }$ je invariant

$F_{\mu \nu }\to F{\text{'}}_{\mu \nu }$