Studentovo rozdělení

Studentovo rozdělení (t-rozdělení) je rozdělení pravděpodobnosti, které je často využíváno ve statistice.

Etymologie

Studentovo rozdělení jako první popsal a prakticky využil anglický statistik William Sealy Gosset publikující pod pseudonymem Student.

Studentovo rozdělení o $n$ stupních volnosti, které označujeme $t (n)$ , je rozdělení náhodné veličiny $X = \frac{U}{\sqrt{\frac{V}{n}}}$ , kde $U$ a $V$ jsou vzájemně nezávislé náhodné veličiny, přičemž $U$ má normované normální rozdělení $N (0, 1)$ a $V$ má rozdělení chí kvadrát $χ^{2} (n)$ .

Rozdělení $t (n)$ má pro $- \infty < x < \infty$ a $n = 1, 2, 3, . . .$ hustotu pravděpodobnosti

f (x) = \frac{Γ (\frac{n + 1}{2})}{Γ (\frac{n}{2}) \sqrt{π n}} {(1 + \frac{x^{2}}{n})}^{- \frac{n + 1}{2}}

kde $Γ$ je gama funkce (zobecnění faktoriálu pro reálná čísla).

Střední hodnota rozdělení $t (n)$ je

E (X) = 0

pro $n > 1$ .

Rozdělení $t (n)$ má rozptyl

σ^{2} (X) = \frac{n}{n - 2}

pro $n > 2$ .

Tabulka některých kvantilů pro některé počty stupňů volnosti:

počet stupňů volnosti N	q_0,95	q_0,975	q_0,99	q_0,995
1	6,31	12,71	31,82	63,66
2	2,92	4,30	6,97	9,93
3	2,35	3,18	4,54	5,84
4	2,13	2,78	3,75	4,60
5	2,02	2,57	3,37	4,03
10	1,81	2,23	2,76	3,17
15	1,75	2,13	2,60	2,95
20	1,73	2,09	2,53	2,85
30	1,70	2,04	2,46	2,75
50	1,68	2,01	2,40	2,68
Limita pro N rostoucí nade všechny meze	1,65	1,96	2,33	2,58

Poznámka: protože t-rozdělení je symetrické, pro kvantily platí, že $q_{p} = - q_{(1 - p)}$ .

Poznámka: uvedené kvantily odpovídají kritickým hodnotám pro některé hladiny významnosti (používané například v t-testu), a to

Pro hodnoty $n > 30$ je rozdělení $t$ velmi blízké normovanému normálnímu rozdělení.