Stolzova věta

Stolzova věta nebo Stolzova-Cesàrova věta je věta matematické analýzy, která slouží k výpočtu limity podílu dvou posloupností. Stolzova věta je obdobou L'Hospitalova pravidla pro limity funkcí

Znění věty

Nechť $(a_n)$ a $(b_n)$ jsou dvě reálné posloupnosti, přičemž $(b_n)$ je ostře rostoucí posloupnost nenulových čísel rostoucí nade všechny meze. Nechť navíc existuje limita

$L=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}.$

Potom také limita $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_n}{b_n}$ existuje a je rovna číslu $L$.

Důkaz

Důkaz Stolzovy věty může být založen přímo na definici limity posloupnosti. Z předpokladů víme, že pro každé $\epsilon >0$ existuje $N(\epsilon )\in \mathbb{N}$ takové, že $\mathrm{\forall }n\ge N(\epsilon )$ platí:

$L-\epsilon <\frac{a_{n+1}-a_n}{b_{n+1}-b_n}<L+\epsilon ,$

kde $L$ je předpokládaná limita posloupnosti. Z předpokladu, že řada $b_n$ ostře roste, odvodíme, že jmenovatelé $b_{n+1}-b_n$ jsou vždy kladní, a smíme tedy jimi nerovnici vynásobit beze změny směru nerovností. Dostaneme:

$(L-\epsilon )(b_{n+1}-b_n)<a_{n+1}-a_n<(L+\epsilon )(b_{n+1}-b_n).$

Nechť dále $k$ je nějaké přirozené číslo větší než $N(\epsilon )$ a zároveň takové, aby $b_{k+1}>0$ (jeho existence plyne z předpokladu, že posloupnost $b$ diverguje). Sečtěme poslední uvedenou nerovnost od $N(\epsilon )$ po $k$ a dostaneme:

$(L-\epsilon )\sum _{i=N(\epsilon )}^k(b_{i+1}-b_i)<\sum _{i=N(\epsilon )}^k(a_{n+1}-a_n)<(L+\epsilon )\sum _{i=N(\epsilon )}^k(b_{i+1}-b_i).$

V sumách se však všechny mezilehlé členy navzájem vyruší, takže dostaneme:

$(L-\epsilon )(b_{k+1}-b_{N(\epsilon )})<a_{k+1}-a_{N(\epsilon )}<(L+\epsilon )(b_{k+1}-b_{N(\epsilon )}),$

což po vydělení kladným číslem $b_{k+1}$ dává:

$(L-\epsilon )(1-\frac{b_{N(\epsilon )}}{b_{k+1}})<\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}}-\frac{a_{N(\epsilon )}}{b_{k+1}}<(L+\epsilon )(1-\frac{b_{N(\epsilon )}}{b_{k+1}}),$

z čehož po přičtení čísla $a_{N(\epsilon )}/b_{k+1}$ dospějeme k nerovnici

$(L-\epsilon )(1-\frac{b_{N(\epsilon )}}{b_{k+1}})+\frac{a_{N(\epsilon )}}{b_{k+1}}<\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}}<(L+\epsilon )(1-\frac{b_{N(\epsilon )}}{b_{k+1}})+\frac{a_{N(\epsilon )}}{b_{k+1}}.$

Protože posloupnost $b$ diverguje, můžeme s rostoucím $k$ učinit členy $a_{N(\epsilon )}/b_{k+1}$ a $b_{N(\epsilon )}/b_{k+1}$ libovolně malými. V limitním přechodu pro $k$ rostoucí do nekonečna tedy dostaneme nerovnici:

$L-\epsilon \le \underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}}\le L+\epsilon ,$

a je zároveň vidět, že limita $\underset{k\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}}$ existuje, jelikož členy posloupnosti $\frac{a_{k+1}}{b_{k+1}}$ dokážeme pro dosti vysoké $k$ omezit na libovolně malý interval kolem čísla $L$, a to je již tvrzení, které jsme chtěli dokázat.

Příklad

Mějme za úkol vypočítat $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}}{\sqrt{n^3}}.$

Řešení: Protože jsou splněny předpoklady Stolzovy věty ($\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt{n^3}=+\mathrm{\infty }$ a po provedení následujícího výpočtu uvidíme, že i druhý předpoklad je splněn), můžeme větu aplikovat:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n}+\sqrt{n+1}-(\sqrt{1}+\sqrt{2}+...+\sqrt{n})}{\sqrt{(n+1{)}^3}-\sqrt{n^3}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{(n+1{)}^3}-\sqrt{n^3}}=$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{n+1}}{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(n+1+\sqrt{n(n+1)}+n)}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{\sqrt{n+1}(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{2n+1+\sqrt{n(n+1)}}=$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n+1+n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{2n+1+n\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{1+\frac{1}{n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}{2+\frac{1}{n}+\sqrt{1+\frac{1}{n}}}=\frac{1+0+1}{2+0+1}=\frac{2}{3}.$

Protože jsme zároveň ověřili, že předpoklady Stolzovy věty platí, můžeme tvrdit, že limita posloupnosti v zadání je rovna 2/3. Přitom jsme při druhé úpravě rozložili jmenovatele podle vzorce $a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)$ a při třetí jsme zlomek rozšířili výrazem $(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})$, přičemž se první činitel ve jmenovateli vynásobil podle vzorce $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$. Čtvrtá úprava znamená roznásobení závorky v čitateli a vytknutí n, pátá vykrácení zlomku číslem n, šestá limitní přechod pro jednotlivé členy čitatele i jmenovatele.

Související články

• Limita
• Posloupnost
• L'Hospitalovo pravidlo

Externí odkazy

• Šablona:En Důkaz Stolzovy věty Šablona:Wayback
• Přednáška prof. Ing. Edity Pelantové, CSc., o Stolzově větě