Stavový popis systému

Stavový popis systému se používá pro systémy s více vstupy a výstupy, tzv. MIMO systémy. Používá se maticový zápis. Tento článek se zabývá stavovým popisem systému, který vzejde z linearizace typicky nelineárních diferenciálních rovnic v okolí takzvaného pracovního bodu, který bývá ekvilibriem. Poté stavový popis dobře popisuje chování systému jen v okolí tohoto pracovního bodu lineární aproximací, což se dá použít pro lineární řízení.

Pojmy

• Stav systému - Je to nejmenší počet stavových proměnných, určuje ho stavový vektor
• Stavový vektor - Jde o sloupcový vektor často značený $𝐱(t)$, jehož složky tvoří stavové proměnné
• Stavové proměnné - Jde o časové funkce, které určují stav dynamického systému
• Stavový prostor - $n$-rozměrný prostor reálných čísel ${ℛ}^n$
• Vektor vstupů - Jde o sloupcový vektor $𝐮(t)$
• Vektor výstupů - Jde o sloupcový vektor $𝐲(t)$
• Stavové rovnice - Určují vazbu mezi stavem a vstupy a výstupy systému. Jsou dvě, zde popsané jsou lineární, časově invariantní.
• Stavová trajektorie - Stav je vektor, jehož poloha se mění a na konci vytváří křivku

První stavová rovnice

Umožňuje vazbu derivace stavové proměnné na libovolný vstup nebo výstup. Rovnice je

$\frac{d𝐱(t)}{dt}=𝐀𝐱(t)+𝐁𝐮(t)$

Druhá stavová rovnice

Určuje vztah mezi vektorem výstupu a vektorem vstupu a vektorem stavu

$𝐲(t)=𝐂𝐱(t)+𝐃𝐮(t)$

Koeficienty rovnic

Obecné stavové schéma systému

$𝐀$ - matice vnitřních vazeb systému (matice systému)

$𝐁$ - matice vazeb systému na vstup (matice řízení)

$𝐂$ - matice vazeb výstupu na stav

$𝐃$ - matice vazeb vstupu na výstup. Z hlediska dynamických vlastností je vliv zanedbatelný a považuje se často za nulový.

Určení matice přenosových funkcí ze stavového popisu

Jde o jednoznačný převod, v podstatě se jedná o řešení obou stavových rovnic po provedení Laplaceovy transformace. Matice $𝐀$, $𝐁$, $𝐂$ a $𝐃$ jsou známé. Matice $𝐈\in {ℛ}^{n\times n}$ je jednotková matice. Řešením je rovnice

$𝐆(s)=\frac{𝐘(s)}{𝐔(s)}=𝐂{(s𝐈-𝐀)}^{-1}𝐁+𝐃=𝐂\frac{1}{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(s𝐈-𝐀)}\mathrm{a}\mathrm{d}\mathrm{j}(s𝐈-𝐀)𝐁+𝐃$.

Výraz $\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{t}(s𝐈-𝐀)$ nazveme charakteristickým polynomem systému a kořeny tohoto polynomu nazveme póly systému. Poloha těchto pólů v komplexní rovině určuje stabilitu systému (leží-li alespoň jeden pól napravo od imaginární osy, je systém nestabilní).

Určení stavového popisu z jednorozměrných přenosů

Převod není jednoznačný používají se tři algoritmy

• Přímé programování
• Paralelní programování
• Sériové programování

Literatura

• I.Švarc, M.Šeda, M.Vítečková. Automatické řízení
• P.Blaha, P.Vavřín. Řízení a regulace 1. Skriptum VUT