Smíšený součin

Smíšený součin je v matematice operace násobení vektorů v trojrozměrném vektorovém prostoru se skalárním součinem, kterou lze definovat jako skalární součin prvního vektoru s vektorovým součinem druhého a třetího vektoru.

Definice

Mějme aritmetický vektorový prostor ${ℝ}^3$ s kanonickou bází nad číselným tělesem $ℝ$, pak vektory $𝐚,𝐛,𝐜\in {ℝ}^3$ v daném pořadí tvoří smíšený součin, platí-li:

$𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)=det[𝐚,𝐛,𝐜]=\left|\begin{array}{ccc}{a}_1& b_1& c_1\\ a_2& b_2& c_2\\ a_3& b_3& c_3\end{array}\right|=a_1{b}_2{c}_3-a_1{b}_3{c}_2+a_2{b}_3{c}_1-a_2{b}_1{c}_3+a_3{b}_1{c}_2-a_3{b}_2{c}_1$,

kde $a_i,b_i,c_i$ pro $i\in \{1,2,3\}$ jsou složky vektorů $𝐚,𝐛,𝐜$.

Vlastnosti

Objem rovnoběžnostěnu je absolutní hodnotou determinantu vektorů $r_1$, $r_2$ a $r_3$.

• Geometrický význam smíšeného součinu je objem rovnoběžnostěnu jimi určeného.
• Při záměně libovolných dvou vektorů ve smíšeném součinu zůstává absolutní hodnota výsledku stejná, výsledek ale změní znaménko, tj. výsledek smíšeného součinu závisí na pořadí vektorů.
• Vektorový součin kolineárních vektorů je nulový vektor, tj. smíšený součin je pak roven nule.
• Smíšený součin vektorů kladně orientované kanonické báze je roven jedné.
• Smíšený součin je jednotková antisymetrická trilineární forma, lze jej vyjádřit pomocí Levi-Civitova symbolu $\epsilon$ s Einsteinovou sumační konvencí: $[𝐚,𝐛,𝐜]={\epsilon }_{ijk}{a}_i{b}_j{c}_k$.

Související články

• Vektorový prostor
• Skalární součin
• Vektorový součin