Rozdělení rychlosti

Rozdělení rychlosti po průměru potrubí nebo po svislici v případě otevřeného koryta je v hydrologii zajímavé z mnoha teoretických i praktických důvodů (např. měření průtoků, vodní stroje a pod.). První návrhy rozdělení byly založeny na čisté empirii (přehled k počátku 20. stol. viz ), s rozvojem teoretických znalostí bylo odvozeno několik typů rozdělení rychlosti. Je zajímavé, že se jedná o typy, které byly navrženy na empirickém základě. Nejběžnější je rozdělení logaritmické, považované za teoreticky nejlépe podložené, a rozdělení mocninné (též parabolické), jejichž výhodou je jednoduchost. V literatuře lze nalézt ještě několik dalších, která se však téměř nepoužívají.

Typy rozdělení rychlosti

Logaritmické rozdělení

Podle všeobecně přijímané Prandtlovy hypotézy je tangenciální napětí $\tau$ [Pa] v libovolném bodu proudu rovno

$\tau =\rho l^2(\frac{du}{dy}{)}^2$

kde $\rho$ [kgm⁻³] je hustota kapaliny, $l=\kappa y$ tzv. směšovací délka, kde $\kappa$ [-] je tzv. Kármánova univerzální konstanta turbulence a $y$ [m] vzdálenost bodu od stěny potrubí, resp. výška uvažovaného bodu nade dnem, a $u$ [ms⁻¹] časově střední rychlost v uvažovaném bodu.

Po dosazení a úpravě dostáváme

$du=\frac{1}{\kappa }\sqrt{\frac{\tau }{\rho }}\frac{dy}{y}=\frac{v_{\ast }}{\kappa }\frac{dy}{y}$

kde $v_{\ast }$ [ms⁻¹] je tzv. třecí rychlost. Integrací této rovnice získáme tzv. Prandtl-Kármánův univerzální zákon rozdělení rychlosti

$u=\frac{v_{\ast }}{\kappa }\ln \frac{y}{K}=\frac{v_{\ast }}{\kappa }(\ln y+K_1)$

kde $K$, resp. $K_1$ [-] je integrační konstanta. Pro hydraulicky drsné koryto rozdělení rychlosti závisí jen na absolutní drsnosti $k_s$ [m] a integrační konstanta pak je $K=m{k}_s$ a výsledný vztah tedy je

$u=\frac{v_{\ast }}{\kappa }\ln \frac{y}{m{k}_s}=\frac{v_{\ast }}{\kappa }(\ln \frac{y}{k_s}+A)=v_{\ast }(\frac{1}{\kappa }\ln \frac{y}{k_s}+A_1)$.

Podle Nikuradseho (viz ) je pro pískovou drsnost zhruba $m=1/30$ a tedy $A=3,4$, $A_1=8,5$ (pro $\kappa =0,4$).

Prandtl-Kármánův vztah se též uvádí ve tvaru tzv. deficitu rychlosti jako

$\frac{u_{max}-u}{v_{\ast }}=\frac{1}{\kappa }\ln \frac{h}{y}$

kde $u_{max}$ [ms⁻¹] je maximální rychlost ve svislici a $h$ [m] je hloubka vody ve svislici.

Platnost Prandtl-Kármánova zákona není neomezená; další práce ukázaly, že je omezen jak zdola, tak shora. Zdola se při malých vzdálenostech od stěny uplatňuje vliv vazké podvrstvy, omezení platí pro

$\frac{y{v}_{\ast }}{\nu }\le 60$, podle jiných pramenů $\frac{y{v}_{\ast }}{\nu }\le 30$. Horní hranice platnosti logaritmického zákona je udávána $\frac{y{v}_{\ast }}{\nu }\ge 5.10^3$ kde $\nu$ [m²s⁻¹] je kinematická viskozita tekuiny.

Prandtl-Kármánův zákon byl odvozen pro potrubí, avšak jeho platnost se předpokládá i pro otevřená koryta; potvrzuje ji shoda s pokusy Zegždy v kanále s volnou hladinou a homogenní pískovou drsností (podrobně viz ).

Mocninné rozdělení rychlosti

Mocninné (parabolické) rozdělení rychlosti je velmi jednoduché, často se používá zejména v hydrometrii. Obvykle se uvádí ve tvaru

$\frac{u}{u_{ref}}=(\frac{y}{y_{ref}}{)}^{\frac{1}{n}}$

kde $u$ [ms⁻¹] je místní (bodová) rychlost ve výšce $y$ [m] nade dnem, $u_{ref}$ [ms⁻¹] je referenční místní rychlost ve výšce $y_{ref}$ [m] nade dnem a $n$ [-] je konstanta, která závisí na vlastnostech koryta. Jako referenční výška se často uvažuje hloubka vody $h$ [m] ve svislici, takže referenční rychlost je pak $u_{max}$ [ms⁻¹], resp. rychlost povrchová. Koeficient $n$ se pohybuje v rozmezí ca $n=3-12$ od koryt širokých drsných po koryta úzká hladká, s běžnými hodnotami pro přirozené toky $n=5-7$. Přesněji může být hodnota $n$ podle Boitena určena ze vztahu

$n=1,77+0,098C$

kde $C$ je Chézyho rychlostní součinitel, nebo ze vztahu

$n=\frac{C}{\sqrt{g}}(\frac{2\sqrt{g}}{\sqrt{g}+C}+0,3)$.

Yen uvádí mocninný zákon v poněkiud jiné, pro teoretické úvahy vhodnější formě

$\frac{u}{v_{\ast }}=c(\frac{y}{k_s}{)}^{\frac{1}{n}}$

kde $c$ [-] je konstanta.

Mocninné rozdělení - důsledky

Z vlastností parabolického rozdělení vyplývá několik zajímavostí, prakticky využívaných při hydromtrických měřeních. Snadno se dá odvodit, že střední svislicová rychlost

$v_s=\frac{n}{n+1}{u}_{max}$.

Protože maximální rychlost bývá blízko pod hladinou (teoreticky v hladině), lze povětšině uvažovat, že povrchová rychlost je rovna rychlosti maximální, $u_{max}=v_p$. Podobně lze odvodit výšku nade dnem $y_s$, v níž je místní rychlost právě rovna střední svislicové rychlosti $v_s$:

$y_s=(\frac{n}{n+1}{)}^{n}h$

kde $h$ [m] je hloubka vody ve svislici. Z těchto dvou vzorců byl vypočten jednak koeficient $k_1$ pro výpočet střední svislicové rychlosti z rychlosti maximální, resp. povrchové (t.j. $v_s=k_1{u}_{max}$), jednak koeficient $k_2$ pro výpočet výšky bodu, v němž je rychlost právě rovna střední svislicové rychlosti, nade dnem (t.j.$y_s=k_{2}h$) pro různé hodnoty koeficientu $n$ a jsou uvedeny v následující tabulce

n	3	4	5	7	10	12
k1	0,750	0,800	0,833	0,875	0,909	0,923
k2	0,422	0,410	0,402	0,393	0,386	0,383

Z vlastností mocninného rozdělení tedy vyplývá teoretická opodstatněnost jednobodové metody určení střední svislicové rychlosti (viz hodnoty $k_2$ v nejběžnějším rozmezí hodnot $n=5-7$, kde chyba je z praktického pohledu nevýznamná až zanedbatelná). Obdobně se dá ukázat i teoretická opodstatněnost metody dvoubodové. Koeficient $k_1$ může být s výhodou využit pro měření za zvláštních okolností (např. větší povodně), kdy z povrchové rychlosti (lze určit např. pomocí hladinových plováků nebo vhodným měřidlem) lze přepočítat rychlosti střední svislicové. Ve stabilním měrném profilu by měl tento koeficient být ověřen v rámci hydrometrických měření pro konstrukci a ověřování měrné křivky.

Je zajímavé, že zejména hodnoty koeficientu $k_1$ neobyčejně dobře souhlasí s hodnotami uváděnými Tolmanem podle empirických poznatků starších autorů.

Rozdělení rychlostí napříč koryta

Rozdělení rychlostí ve svislici či na poloměru potrubí je teoreticky popsáno a zdůvodněno. Oproti tomu rozdělení svislicových rychlostí napříč koryta, resp. bodových rychlostí po příčném profilu, čeká na objasnění. Příčinou je celá řada obtížně zohlednitelných vlivů – variabilita drsnosti po omočeném obvodu, nepravidelnosti příčného profilu, sekundární příčné proudění aj.

Je známo, že rozdělení rychlostí napříč koryta závisí na jeho tvaru a mění se s vodním stavem, resp. průtokem $Q$ [m³s⁻¹]. Zatímco při nízkých vodních stavech je zejména v nepravidelném korytě rozdělení rychlostí napříč koryta taktéž značně nepravidelné, se zvyšujícím se vodním stavem se nepravidelnost rozdělení rychlostí snižuje.

Patočka cituje Velikanova, podle kterého je střední svislicová rychlost v libovolné svislici úměrná odmocnině hloubky $h$,

$v_s=a\sqrt{h}$

kde $a$ je konstanta,

$a=\frac{Q}{{\int }_0^B{h}^{3/2}dB}$

kde $B$ [m] je šířka koryta v hladině.

Chiu se spolupracovníky se pokusil o simulaci rychlostního pole na bázi křivočaré souřadnicové sítě, avšak postup je značně složitý. Na druhou stranu výsledky jsou nadějné a metoda již byla několikrát použita.