Chézyho rychlostní součinitel

Chézyho rychlostní součinitel je jedním z členů Chézyho rovnice, která dovoluje výpočet střední průřezové rychlosti, resp. s aplikací rovnice kontinuity výpočet průtoku v potrubí a zejména v otevřených korytech. V počátcích hydrauliky jako vědního oboru býval udáván číselnou hodnotou, která se ale podle různých výzkumníků i značně lišila. Během doby bylo odvozeno několik desítek vztahů založených na různých základech (viz). V zásadě můžeme rozlišit následující hlavní skupiny těchto vztahů:

• součinitele mocninné
• součinitele logaritmické
• ostatní

Rozměr Chézyho rychlostního součinitele vyplývá z Chézyho rovnice a je [m^0,5s⁻¹], tedy rozměr odmocniny ze zrychlení.

Součinitele exponenciální

Tyto vzorce mají standardní tvar

$C=\frac{1}{n}{R}^y$

kde $R=S/O$, $R$ je hydraulický poloměr [m], $S$ průtočná plocha [m²] a $O$ omočený obvod [m]. Exponent $y$ může být konstantou či funkcí určitých proměnných. Součinitel $n$ je tzv. součinitel drsnosti (v angloamerické literatuře též často nazýván Manningův součinitel drsnosti), vyjadřující hydraulické odpory koryta.

Typickým představitelem je Chézyho součinitel podle Manninga, kde $y=1/6$. Podrobné pojednání o vzniku Manningovy rovnice (viz). Další výzkumníci došli k hodnotám $y=1/5$ (Forchheimer) a $y=1/4$ (Lacey)

Sovětský akademik Pavlovskij odvodil ve 30. letech 20. stol. svůj v Sovětském svazu i u nás velmi rozšířený vztah

$y=2,5\surd n-0,13-0,75\surd R(\surd n-0,10)$

Literatura uvádí dvě možná zjednodušení tohoto poměrně složitého vztahu, která navrhl jeho autor, a to jednak z hlediska hydraulického poloměru (viz např.):

$y=1,5\surd n$ pro $R\leqq 1$ m

$y=1,3\surd n$ pro $R>1$ m

jednak z hlediska velikosti součinitele drsnosti $n$ (viz):

$y=1/6$ pro $0,010\leqq n<0,015$

$y=1/5$ pro $0,015\leqq n<0,025$

$y=1/4$ pro $n\geqq 0,025$,

Se zvyšujícím se součinitelem drsnosti vlastně rychlostní součinitel podle Manninga přechází v součinitel podle Forchheimera a posléze podle Laceye.

Libý na základě vlastních experimentů doporučuje další možné zjednodušení Pavlovského vzorce pro vyšší drsnosti:

$y=1,6\sqrt{n}$ pro $n\geqq 0,025$.

Pavlovského vzorec je sovětskou i starší tuzemskou literaturou považován za nejpřesnější. Pavlovskij udává jeho platnost v mezích $R\in ⟨0,1;3⟩$ [m] a $n\in ⟨0,011;0,040⟩$, avšak obecně se udává, že platí v mezích podstatně širších (které ale zřejmě nejsou v žádné literatuře specifikovány).

Sribný (viz) udává vztah mezi exponentem $y$ a součinitelem drsnosti tabelárně:

n	<0,010	0,013	0,018	0,025	0,040	0,080	0,200
y	1/8	1/7	1/6	1/5	1/4	1/3	1/2

Mattas tuto tabulku aproximoval rovnicí

$y=1,072n^{0,462}$.

Chen Uvedl do vztahu hodnotu exponentu $y$ a relativní absolutní drsnosti $R/k$ kde $R$ [m] je hydraulický poloměr a $k$ [m] je absolutní drsnost koryta. Ve své práci uvádí tabulku závislosti $y=f(R/k)$, kde udává i rozmezí relativní absolutní drsnosti, v níž daný exponent platí. Překryv udávaných rozmezí relativní absolutní drsnosti je však tak velký, že lze volit téměř libovolnou hodnotu exponentu:

y	1/6	1/5	1/4	1/3	1/2	2/3	1
min R/k	3,34	0,983	0,278	0,069	0,007	0,003	0,0
max R/k	316,0	132,0	56,3	21,0	7,9	3,2	1,1

Z provedené analýzy (viz) vyplývá, že pro větší hydraulické poloměry (ca $R>0,5$ [m]) jsou rozdíly mezi jednotlivými výše uvedenými vztahy relativně přijatelné, poněkud vybočuje vztah Manningův, který rychlostní součinitel poněkud podhodnocuje. Pro malé hydraulické poloměry je rozptyl výsledků větší a se zmenšováním hydraulického poloměru se zvětšuje.

Součinitele logaritmické

Logaritmický tvar Chézyho rychlostního součinitele je považován za nejsprávnější a je teoreticky nejlépe podložen. Z Prandtl-Kármánova zákona rozdělení rychlosti lze odvodit výraz pro součinitel ztráty třením v obecném tvaru Colebrook-Whiteovy rovnice:

$\frac{1}{\sqrt{\lambda }}=c\log \frac{aR}{k_s}$

kde $\lambda$ je součinitel ztráty třením, $c$ je konstanta, $c=2,03$ je převod z přirozeného logaritmu na dekadický, většina autorů zaokrouhluje na 2,00, $R$ [m] je hydraulický poloměr a $k_s$ [m] absolutní, resp. ekvivalentní písková drsnost, která se obvykle nahrazuje některým charakteristickým zrnem (např. $d_{ef},d_{50},d_{84}$) substrátu dna. V některých případech je hydraulický poloměr nahrazen střední hloubkou. Protože platí jednoduchý vztah

$\sqrt{\frac{8}{\lambda }}=\frac{C}{\sqrt{g}}$,

lze Colebrook-Whiteovu rovnici snadno převést na výraz pro určení Chézyho rychlostního součinitele (viz např.,):

$C=4\sqrt{2g}\log \frac{aR}{k_s}=4\sqrt{2g}(\log R+\log \frac{a}{k_s})=4\sqrt{2g}(\log \frac{R}{k_s}+\log a)$

U nás býval doporučován výraz, odvozený Agroskinem na základě výsledků experimentů Zegždy, ve tvaru:

$C=4\sqrt{2g}(\log R+k_a)$

kde $k_a$ je tzv. součinitel hladkosti,

$k_a=\log \frac{2A}{\mathrm{\Delta }}$

kde $A$ je konstanta a $\mathrm{\Delta }$ velikost výstupků stěny. Agroskin však místo použití parametru $\mathrm{\Delta }$ vyšel z mocninných vztahů pro Chézyho rychlostní součinitel, z nichž odvodil vztah

$k_a=\frac{0,05643}{n}$

kde $n$ je součinitel drsnosti, čímž však popřel výhodnost svého jinak teoreticky dobře podloženého vzorce.

Bretting odvodil podobný vztah

$C=4\sqrt{2g}(\log \frac{R}{d}+A^{\prime })$

kde $d$ je efektivní zrno (též střední) a konstanta $A^{\prime }=1,171$. Obdobný vztah odvodil na základě řady měření na našich vodních tocích Martinec (tzv. "vzorec VÚV") s hodnotou $A^{\prime }=0,77$ pro $d=d_{50}$. S ohledem na značně problematický způsob určení padesátiprocentního kvantilu křivky zrnitosti (v některých případech Martinec uvádí jako způsob určení dokonce i jen odborný odhad) který zrnitosti evidentně podhodnocoval, tento vzorec ve srovnání s ostatními značně vybočuje, a dává podstatně vyšší hodnoty Chézyho rychlostního součinitele (viz). Mattas určil na základě souboru více než 600 měření (vlastních i v literatuře publikovaných) na tocích vyšších gradientů s hrubozrnným substrátem $A^{\prime }=0,41$ pro $d=d_{50}$, resp.$A^{\prime }=0,72$ pro $d=d_{84}$.

Pro hrubozrnný materiál dna např. udávají Leopold, Wollman a Miller (citace viz)

$C=2,03\cdot 2\sqrt{2g}\log \frac{3,11h}{d_{84}}$

kde $h$ je střední hloubka vody. Limerinos (ibid) odvodil konstantu $a=1,49$ pro $d=d_{50}$, resp. $a=3,72$ pro $d=d_{84}$ a ve vzorci používá místo střední hloubky hydraulický radius $R$.

Za nejspolehlivější vztah logaritmického typu se považuje vzorec Heye

$C=4\sqrt{2g}\log \frac{a^{\prime }R}{3,5d_{84}}$

kde parametr $a^{\prime }$ se určí z Bathurstova vztahu (ibid)

$a^{\prime }=11,1\left(\frac{R}{h_{max}}\right)$

kde $h_{max}$ je délka normály k omočenému obvodu, procházející místem maximální místní (bodové) rychlosti.

Součinitele ostatní

Ganguillet-Kutterův vztah

Jedním z prvních vztahů pro výpočet Chézyho rychlostního součinitele je vzorec Ganguilleta a Kuttera z r. 1869 (viz např.), běžně používaný ještě v 60. letech 20. století:

$C=\frac{23+\frac{0,00155}{i}+\frac{1}{n}}{1+(23+\frac{0,00155}{i})\frac{n}{\surd R}}$

kde $i$ je sklon hladiny a $n$ součinitel drsnosti, který byl v tomto vzorci použit vůbec poprvé. Autoři též stanovili jeho hodnoty pro řadu případů (viz např.). Vzorec dává podle Chowa uspokojivé výsledky i přesto, že část dat použitá k jeho odvození byla chybná (měření Abbota a Humphreyse na Mississippi).

Stricklerův vzorec a jeho modifikace

Mezi první pokusy o zavedení charakteristického rozměru splaveninových zrn do výpočtu Chézyho rychlostního součinitele je vztah Stricklera (např.):

$C=\frac{a}{d^{1/6}}{R}^{1/6}$

Porovnáním s Manningovým vztahem pro rychlostní součinitel je evidentně

$n=\frac{1}{a}{d}^{1/6}$

kde $a$ je konstanta a $d$ je charakteristické zrno. Vztah podle Brettinga (cit. v) platí v mezích $4,32\leqq R/d\leqq 276$.

Konstantu $a$ udávají různí autoři různými hodnotami pro různou charakteristickou drsnost; původní hodnoty udané Stricklerem jsou $a=21,1$ pro pevné dno s homogenní pískovou drsností resp. $a=24,4$ pro $d=d_{50}$. Další hodnoty viz.

Mostkovův vzorec

Vzorec Mostkova se svým tvarem poněkud vymyká z řady. Byl odvozen pro hydraulicky drsná koryta přímo z Prandtlovy rovnice ve tvaru

$C=22\log \frac{R}{\mathrm{\Delta }}+9,5\frac{\mathrm{\Delta }}{R}+1,5$

kde $\mathrm{\Delta }$ [m] je tzv. "výška vlivu výstupků drsnosti". Je uvedena v tabelární formě pro různé typy povrchů a koryt, pro říční koryta lze použít tabulku závislosti $\mathrm{\Delta }$ na středním (efektivním) zrnu materiálu koryta:

dstř [mm]	3-5	30-75	50-90	140-180	180-210	250
Δ [mm]	10	25	50	100	150	200

Toky se zvýšenou drsností

Do této kategorie patří toky horské a podhorské, obvykle větších gradientů (ca $i>0,002-0,005$) s hrubozrnným substrátem dna a často se vyskytujícími většími valouny až balvany. Tyto toky již často spadají do kategorie toků s makrodrsností (tzn. $h/d_{50}<2$, resp. $h/d_{84}<1,2$ kde $h$ [m] je střední hloubka toku).

Bathurst uvažuje rozmístění jednotlivých makrodrsnostních prvků, které při daném průtoku převyšují hladinu volně po ploše dna, a bere poměr plochy dna $S_d$ [m²] k sumě ploch těchto prvků v určitém pásu kolem příčného profilu. Jako plochu makrodrsnostních prvků lze uvažovat buď jejich průměty do svislé roviny kolmé na směr proudění $S_f$ [m²], nebo jejich půdorysy $S_b$ [m²]. Z těchto parametrů vyjádříme buď tzv. frontální koncentraci ${\lambda }_1$ drsnostních prvků, nebo jejich základovou koncentraci ${\lambda }_2$:

${\lambda }_1=\sum S_f/S_d$, resp. ${\lambda }_2=\sum S_b/S_d$.

Protože tyto koncentrace korelují s relativní drsností, není nutné je určovat přímým měřením, ale lze je odhadnout ze vztahů udávaných Bathurstem jako

${\lambda }_1=0,139\log \frac{1,91d_{84}}{R}$, resp. ${\lambda }_2=0,360\log \frac{1,52d_{84}}{R}$.

Chézyho součinitel pak lze určit z Bathurstem odvozených empirických vztahů, při použití frontální koncentrace

$C=\sqrt{g}\left(\frac{R}{0,365d_{84}}{)}^{2,34}\right(\frac{b}{h}{)}^{7({\lambda }_1-0,08)}$,

resp. při použití základové koncentrace

$C=\sqrt{g}\left(\frac{R}{0,748d_{84}}{)}^{5,83}\right(\frac{b}{h}{)}^{7({\lambda }_2-0,08)}$.

Uvedené vztahy podle Bathursta platí pro $d_{16}\in ⟨0,103;0,135⟩$ [m], $d_{50}\in ⟨0,185;0,270⟩$ [m], $d_{84}\in ⟨0,103;0,135⟩$ [m].